Теорема Эйлера для многогранников

Теорема Эйлера для многогранников — теорема, устанавливающая связь между числом вершин, рёбер и граней для многогранников, топологически эквивалентных сфере.

ФормулировкаПравить

Пусть   — число вершин выпуклого многогранника,   — число его рёбер и   — число граней. Тогда верно равенство

 

Примеры для правильных многогранников:

Правильный
многогранник
Вершин (В) Рёбер (Р) Граней (Г) ВР + Г
Тетраэдр 04 06 04 2
Куб 08 12 06 2
Октаэдр 06 12 08 2
Додекаэдр 20 30 12 2
Икосаэдр 12 30 20 2

ИсторияПравить

В 1620 году Рене Декарт показал, что сумма углов всех граней многогранника равна одновременно   и  . Из этого непосредственно следует утверждение теоремы.

В 1750 году Леонард Эйлер доказал тождество для выпуклых многогранников. Теорема Эйлера заложила фундамент нового раздела математики — топологии. Более строгое доказательство дал Коши в 1811 г.

Долгое время считалось, что соотношение Эйлера справедливо для любых многогранников. Первый контрпример дал Симон Люилье в 1812 г.; при рассмотрении коллекции минералов он обратил внимание на прозрачный кристалл полевого шпата, внутри которого был чёрный кубический кристалл сернистого свинца. Люилье понял, что куб с кубической полостью внутри не подчиняется формуле Эйлера. Позже были обнаружены и другие контрпримеры (например, два тетраэдра, склеенные по ребру или имеющие общую вершину), и формулировка теоремы была уточнена: она верна для многогранников, топологически эквивалентных сфере[1].

ОбобщенияПравить

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Лакатос И. Доказательства и опровержения. Как доказываются теоремы. — М.: Наука, 1967.