Теорема Эйлера о треугольнике

(перенаправлено с «Теорема Эйлера (планиметрия)»)

Формула Эйлера — теорема планиметрии, связывает расстояние между центрами вписанной и описанной окружностей и их радиусами.

Лемма о трезубце вики7.png

Теорема названа в честь Леонарда Эйлера.

ФормулировкаПравить

Расстояние   между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника может быть определено по формуле

 

где   — радиус описанной,   — радиус вписанной окружности.

ЗамечанияПравить

  • Приведённую формулу можно переписать следующим образом
     .
или
 
  • Из теоремы следует так называемое неравенство Эйлера
     .
    • Существует более сильная форма этого неравенства[1]:с. 198, а именно:
       
где   — стороны треугольника.
  • Для сферического треугольника отношение радиуса описанной окружности к радиусу вписанной может быть меньше 2. Более того, для любого числа между 1 и 2 существует правильный сферический треугольник с отношением радиуса описанной к радиусу вписанной окружности, равным этому числу.

ДоказательствоПравить

Пусть   — центр описанной окружности треугольника  , а   — центр вписанной окружности. Если луч   пересекает описанную окружность в точке  , то   является средней точкой дуги  . Проведём луч   и обозначим его точку пересечения с описанной окружностью как  . Тогда   будет диаметром описанной окружности. Из точки   опустим перпендикуляр   на   Тогда   Запишем формулу Эйлера немного в другом виде

 

Можно заметить, что слева стоит степень точки   относительно описанной окружности (если быть точным, то минус степень точки). То есть, достаточно доказать равенство  . По лемме о трезубце   значит, достаточно доказать, что  . Теперь заметим, что   и   то есть, требуемое равенство можно переписать в виде   Перепишем его ещё немного:  . Это равенство следует из подобия треугольников   и  . В самом деле, углы   и   у этих треугольников прямые, а углы   и   равны, потому что оба опираются на дугу   (более того, отношение   равно синусу угла  ).

ИсторияПравить

Эта теорема названа в честь Леонарда Эйлера, который опубликовал её в 1765 году. Однако тот же результат был опубликован ранее Уильямом Чапплом в 1746 году.[2]

Вариации и обобщенияПравить

Для центра вневписанной окружностиПравить

Для вневписанных окружностей уравнение выглядит похоже:

 

где   — радиус одной из вневписанных окружностей, а   — расстояние от центра описанной окружности до центра этой вневписанной окружности[3][4][5].

Для многоугольниковПравить

 
Во вписанно-описанном четырёхугольнике ABCD с центрами вписанной и вписанной окружностей соответственно I и О.
  • Для радиусов   и   соответственно описанной и вписанной окружностей данного вписанно-описанного четырёхугольника (см. рис.) и расстояния   между центрами этих окружностей выполняется соотношение:
     ,
или эквивалентно,
 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Svrtan, Dragutin & Veljan, Darko (2012), Non-Euclidean versions of some classical triangle inequalities, Forum Geometricorum Т. 12: 197–209, <http://forumgeom.fau.edu/FG2012volume12/FG201217index.html> .
  2. Chapple, William (1746), An essay on the properties of triangles inscribed in and circumscribed about two given circles, Miscellanea Curiosa Mathematica Т. 4: 117–124, <https://archive.org/details/miscellaneacuri01unkngoog/page/n142> . The formula for the distance is near the bottom of p.123.
  3. Roger Nelson. Euler's triangle inequality via proof without words // Mathematics Magazine. — February 2008. — Вып. 81(1). — С. 58—61.
  4. R. A. Johnson. Modern Geometry. — Boston: Houghton Mifflin, 1929. — С. 187.
  5. Lev Emelyanov, Tatiana Emelyanova. Euler’s formula and Poncelet’s porism // Forum Geometricorum. — 2001. — Вып. 1. — С. 137–140..
  6. Nicolas Fuss// https://en.wikipedia.org/wiki/Nicolas_Fuss
  7. Авксентьев, Е. А. Инвариантные меры и теоремы о замыкании типа Понселе

СсылкиПравить