Теорема Зейферта — ван Кампена

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка

Пусть $X$ — топологическое пространство, $V,U\subset X$ — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение $W=V\cap U$ также линейно связно, и $X=V\cup U$. Зафиксируем точку $p\in W$. Заметим, что включения

$W\hookrightarrow U,\quad W\hookrightarrow V,\quad U\hookrightarrow X,\quad V\hookrightarrow X$

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

$I\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(U,p)$, $J\colon \pi _{1}(W,p)\to \pi _{1}(V,p)$, $\pi _{1}(U,p)\to \pi _{1}(X,p)$ и $\pi _{1}(V,p)\to \pi _{1}(X,p)$.

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

$\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*_{\pi _{1}(W,p)}\pi _{1}(V,p).$

Замечания

• Если даны задания групп $\pi _{1}(U,p)$ и $\pi _{1}(V,p)$

  ${\begin{aligned}\pi _{1}(U,p)&=\langle u_{1},\cdots ,u_{k}\mid \alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l}\rangle \\\pi _{1}(V,p)&=\langle v_{1},\cdots ,v_{m}\mid \beta _{1},\cdots ,\beta _{n}\rangle \\\end{aligned}}$

и $w_{1},\cdots ,w_{s}$ — образующие группы $\pi _{1}(W,p)$, то

$\pi _{1}(X,p)=\left\langle u_{1},\cdots ,u_{k},v_{1},\cdots ,v_{m}\left|\alpha _{1},\cdots ,\alpha _{l},\beta _{1},\cdots ,\beta _{n},I(w_{1})J(w_{1})^{-1},\cdots ,I(w_{p})J(w_{p})^{-1}\right.\right\rangle .$

Следствия

• Если пересечение $W$ односвязно, то

  $\pi _{1}(X,p)=\pi _{1}(U,p)*\pi _{1}(V,p),$

то есть фундаментальна группа $X$ изоморфна свободному произведению фундаментальных групп $U$ и $V$.

• В частности,

$\pi _{1}(X_{1}\vee X_{2})=\pi _{1}(X_{1})*\pi _{1}(X_{2}),$

для букета $X_{1}\vee X_{2}$ связных и локально односвязных пространств $X_{1}$ и $X_{2}$.

• Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
  • Например сферу $X=S^{2}$ можно покрыть двумя дисками $U=S^{2}\backslash \{n\}$ и $V=S^{2}\backslash \{s\}$, где $n$ и $s$ обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение $W=V\cap U=S^{2}\backslash \{n,s\}$ связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа $X$ также тривиальна.

Вариации и обобщения

• Существует обобщение теоремы для фундаментальных группоидов. Она позволяет работать в случае если $W$ не связно.
• Последовательность Майера — Вьеториса — аналогичная теорема для подсчёта гомологий.

Ссылки

• В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
• Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
• E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.