Теорема Зейферта — ван Кампена

(перенаправлено с «Теорема ван Кампена»)

Теорема Зейферта — ван Кампена выражает фундаментальную группу топологического пространства через фундаментальные группы двух открытых подмножеств, покрывающих пространство. 

Названа в честь Герберта Зейферта и Эгберта ван Кампена.

Формулировка

править

Пусть   — топологическое пространство,   — два линейно связных открытых множества таких, что пересечение   также линейно связно, и  . Зафиксируем точку  . Заметим, что включения

 

индуцируют гомоморфизмы соответствующих фундаментальных групп

 ,  ,   и  .

Согласно теореме Зейферта — ван Кампена, эти четыре гомоморфизма определяют кодекартов квадрат в категории групп, то есть

 

Замечания

править
  • Если даны задания групп   и  
     
и   — образующие группы  , то
 

Следствия

править
  • Если пересечение   односвязно, то
     
то есть фундаментальна группа   изоморфна свободному произведению фундаментальных групп   и  .
  • В частности,
 
для букета   связных и локально односвязных пространств   и  .
  • Пространство односвязно если оно допускает покрытие двумя односвязными открытыми множествами со связным пересечением.
    • Например сферу   можно покрыть двумя дисками   и  , где   и   обозначают северный и южный полюсы соответственно. Заметим, что пересечение   связно. Значит, по теореме Зейферта — ван Кампена фундаментальная группа   также тривиальна.

Вариации и обобщения

править

Ссылки

править
  • В. В. Прасолов. Элементы комбинаторной и дифференциальной топологии. — М.: МЦНМО, 2004. — 352 с.
  • Seifert, H., Konstruction drei dimensionaler geschlossener Raume. Berichte Sachs. Akad. Leipzig, Math.-Phys. Kl. (83) (1931) 26–66.
  • E. R. van Kampen. On the connection between the fundamental groups of some related spaces. American Journal of Mathematics, vol. 55 (1933), pp. 261—267.