Открыть главное меню

Теорема косинусов

ФормулировкаПравить

Для плоского треугольника со сторонами   и углом  , противолежащим стороне  , справедливо соотношение:

 .

Квадрат стороны треугольника равен сумме квадратов двух других сторон минус удвоенное произведение этих сторон на косинус угла между ними[1]

ДоказательстваПравить

СледствияПравить

  • Теорема косинусов может быть использована для нахождения косинуса угла треугольника
     
В частности,
  • Если  , угол α — острый
  • Если  , угол α — прямой (если угол α прямой, то теорема косинусов становится теоремой Пифагора)
  • Если  , угол α — тупой
  • Теорема косинусов может быть записана также в следующем виде[2]:
 ,
 .
  • Находя из двух последних формул в явном виде   и  , получим известные формулы геометрии[2]:
     ,  ,  , где p — полупериметр.
  • Наконец, используя правые части формул для   и   и известную формулу площади треугольника:  , а также известную формулу синуса двойного угла   после небольших преобразований получим известную формулу Герона для площади треугольника:  , где p — полупериметр.

Для других угловПравить

Теорема косинусов для двух других углов имеет вид:

 
 

Из этих и из основной формулы могут быть выражены углы:

 
 
 

ИсторияПравить

Утверждения, обобщающие теорему Пифагора и эквивалентные теореме косинусов, были сформулированы отдельно для случаев острого и тупого угла в 12 и 13 предложениях II книги «Начал» Евклида.

Утверждения, эквивалентные теореме косинусов для сферического треугольника, применялись в сочинениях ал-Баттани.[3]:105 Теорему косинусов для сферического треугольника в привычном нам виде сформулировал Региомонтан, назвав её «теоремой Альбатегния» по имени ал-Баттани.

В Европе теорему косинусов популяризовал Франсуа Виет в XVI столетии. В начале XIX столетия её стали записывать в принятых по сей день алгебраических обозначениях.

Вариации и обобщенияПравить

Для евклидовых нормированных пространствПравить

Пусть в евклидовом пространстве   задана норма, ассоциированная со скалярным произведением, то есть  . Тогда теорема косинусов формулируется следующим образом:

Теорема.
 

Для четырёхугольниковПравить

Возводя в квадрат тождество   можно получить утверждение, иногда называемое теоремой косинусов для четырёхугольников:

 , где   — угол между прямыми AB и CD.

Или иначе:

 
Формула справедлива и для тетраэдра, под   подразумевается угол между скрещивающимися ребрами.
С помощью неё можно найти косинус угла между скрещивающимися ребрами   и   зная все ребра тетраэдра:
 
Где   и  ,   и   пары скрещивающихся ребер тетраэдра.

Косвенный аналог для четырёхугольникаПравить

 
Четырехугольник

Соотношение Бретшнайдера — соотношение в четырёхугольнике, косвенный аналог теоремы косинусов:

Между сторонами a, b, c, d и противоположными углами   и диагоналями e, f простого (несамопересекающегося) четырёхугольника выполняется соотношение:

 
  • Если четырёхугольник вырождается в треугольник, и одна вершина попадает на сторону, то получается теорема Стюарта.
  • Теорема косинусов для треугольника является частным случаем соотношения Бретшнайдера, если в качестве четвёртой вершины выбрать центр описанной окружности треугольника.

СимплексыПравить

Основная статья: Симплекс § Свойства
 

при этом мы должны зачеркнуть строку и столбец, где находится   или  .

A — угол между гранями   и  ,   -грань, находящаяся против вершины i, - расстояние между вершинами i и j.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Атанасян Л. С., Бутузов В. Ф., Кадомцев С. Б. и др. Геометрия 7—9: учеб. для общеобразоват. учреждений — 15-е изд. — М.: Просвещение, 2005. — С. 257. — 384 с.: ил. — ISBN 5-09-014398-6
  2. 1 2 Корн Г. А., Корн Т. М. Справочник по математике для научных работников и инженеров. — М.: «Наука», 1974. — С. 51. — 832 с.
  3. Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991

ЛитератураПравить