Теорема котангенсов

Теорема котангенсов — тригонометрическая теорема, связывающая радиус вписанной окружности треугольника с длиной его сторон. Теорему котангенсов удобно использовать при решении треугольника по трём сторонам.

Общий вид треугольника

ФормулировкаПравить

Пусть

  — длины трёх сторон треугольника,
  — углы, лежащие напротив, соответственно, сторон  ,
  — радиус вписанной окружности треугольника и
  — полупериметр треугольника.

Тогда справедливы следующие формулы:[1]

 ,
 ,
 ,

или эквивалентно:

 .

Словами теорему можно сформулировать так: котангенс половинного угла равен отношению полупериметра минус длина противолежащей стороны указанного угла к радиусу вписанной окружности.

ОбобщениеПравить

В сферической тригонометрии существует похожая формула для половины угла, а также двойственная к ней формула половины стороны.

СледствияПравить

Из теоремы котангенсов может быть получено выражение для радиуса вписанной окружности  . Далее, так как площадь треугольника  , из теоремы котангенсов следует формула Герона.

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. The Universal Encyclopaedia of Mathematics, Pan Reference Books, 1976, page 530. English version George Allen and Unwin, 1964. Translated from the German version Meyers Rechenduden, 1960.

См. такжеПравить