Теорема об изменении количества движения системы

Теоре́ма об измене́нии коли́чества движе́ния (и́мпульса) систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает количество движения с импульсом внешних сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь в теореме, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].

Формулировка теоремыПравить

Количеством движения (импульсом) механической системы называют величину, равную сумме количеств движения (импульсов) всех тел, входящих в систему. Импульс внешних сил, действующих на тела системы, — это сумма импульсов всех внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема об изменении количества движения системы утверждает[2][3]:

Изменение количества движения системы за некоторый промежуток времени равно импульсу внешних сил, действующих на систему, за тот же промежуток времени.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к внешним силам необходимо добавлять переносные и кориолисовы силы инерции[4].

ДоказательствоПравить

Пусть система состоит из   материальных точек с массами   и ускорениями  . Все силы, действующие на тела системы, разделим на два вида:

  • Внешние силы — силы, действующие со стороны тел, не входящих в рассматриваемую систему. Равнодействующую внешних сил, действующих на материальную точку с номером i, обозначим  .
  • Внутренние силы — силы, с которыми взаимодействуют друг с другом тела само́й системы. Силу, с которой на точку с номером i действует точка с номером k, будем обозначать  , а силу воздействия i-й точки на k-ю точку —  . Очевидно, что если  , то  

Используя введённые обозначения, запишем второй закон Ньютона для каждой из рассматриваемых материальных точек в виде

 

Учитывая, что  , и суммируя все уравнения второго закона Ньютона, получаем:

 

Выражение   представляет собой сумму всех внутренних сил, действующих в системе. По третьему закону Ньютона в этой сумме каждой силе   соответствует сила   такая, что   и, значит, выполняется   Поскольку вся сумма состоит из таких пар, то и сама сумма равна нулю. Таким образом, можно записать

 

Используя для количества движения системы   обозначение  , получим

 

Введя в рассмотрение изменение импульса внешних сил  , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в дифференциальной форме:

 

Таким образом, каждое из последних полученных уравнений позволяет утверждать: изменение количества движения системы происходит только в результате действия внешних сил, а внутренние силы никакого влияния на эту величину оказать не могут.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми   и  , получим выражение теоремы об изменении количества движения системы в интегральной форме:

 

где   и   — значения количества движения системы в моменты времени   и   соответственно, а   — импульс внешних сил за промежуток времени  . В соответствии со сказанным ранее и введёнными обозначениями, выполняется

 

Закон сохранения количества движения системыПравить

Из теоремы об изменении количества движения системы следует, что в отсутствие внешних сил (замкнутая система), а также при равенстве суммы всех внешних сил нулю выполняется   и  . Иначе говоря, справедливо соотношение

 

Таким образом, следует вывод:

Если сумма всех внешних сил, действующих на систему, равна нулю, то количество движения (импульс) системы есть величина постоянная.

Данное утверждение составляет содержание закона сохранения количества движения системы[2][3].

Возможны случаи, когда сумма внешних сил нулю не равна, но равна нулю её проекция на какое-либо направление. Тогда равно нулю и изменение проекции количества движения системы на это направление, то есть, как говорят, сохраняется количество движения в этом направлении.

Случай системы с идеальными стационарными связямиПравить

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении количества движения системы с идеальными стационарными связями утверждает[5]:

Если идеальные стационарные связи допускают в любой момент поступательное перемещение системы параллельно некоторой неподвижной оси  , то производная по времени от проекции количества движения системы на ось   равна сумме проекций на ту же ось всех действующих на систему внешних активных сил.

ДоказательствоПравить

По условию в любой момент все точки системы допускают смещение на   параллельно неподвижной оси  . Заменяя в общем уравнении динамики   на  , получаем:

 

или

 

или

  (1)

окончательно находим:

 

В уравнении (1) в сумму активных сил   включены внешние активные и внутренние активные силы. Однако геометрическая сумма внутренних активных сил, как попарно равных и противоположных, равна нулю, поэтому в окончательном уравнении представлены только внешние активные силы.

ИсторияПравить

О законе сохранения количества движения Исаак Ньютон в своём знаменитом труде «Математические начала натуральной философии», изданном в 1687 году, писал: «Количество движения, получаемое беря сумму количеств движения, когда они совершаются в одну сторону, и разность, когда они совершаются в стороны противоположные, не изменяется от взаимодействия тел между собою»[6]. Комментатор, в связи с этой формулировкой, отмечает, что, хотя в ней рассматривается только случай движения тел по одной прямой, И. Ньютон, как показывают его другие высказывания в той же книге, в своих воззрениях этим частным случаем не ограничивался[6].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
  2. 1 2 3 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 280—284. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  3. 1 2 3 Маркеев А. П. Теоретическая механика. — М.: ЧеРО, 1999. — С. 157—159. — 572 с.
  4. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 260
  5. 1 2 Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221. — ISBN 5-06-003587-5
  6. 1 2 Исаак Ньютон. Математические начала натуральной философии = Philosophia naturalis principia matematica / Перевод с латинского и примечания А. Н. Крылова. — М.: Наука, 1989. — С. 45. — 688 с. — (Классики науки). — ISBN 5-02-000747-1.