Открыть главное меню

Теорема об опорной гиперплоскости или теорема о разделяющей гиперплоскости является одним из важных «свойств» выпуклых множеств.

Если заданы замкнутое ограниченное выпуклое множество и точка , не принадлежащая множеству , то существуют такие числа , что

Геометрически это означает, что через точку можно провести гиперплоскость так, что множество будет лежать «выше» этой гиперплоскости.

ДоказательствоПравить

 
Прямоугольный треугольник  

Пусть   − расстояние между точкой   и точкой  . Так как множество   замкнуто и ограничено, а значит, компактно, то

функция   непрерывна и достигает в некоторой точке   своего минимума.

Пусть  гиперплоскость, проходящая через точку   и перпендикулярная прямой, соединяющей точки   и  .

Докажем, что ни одна из точек множества   не содержится в гиперплоскости  .

Предположим обратное, т.е., что существует такая точка  , принадлежащая как множеству  , так и гиперплоскости  .

Тогда в двухмерной плоскости, являющейся линейной оболочкой точек  , эти три точки образуют прямоугольный треугольник

  с прямым углом в вершине  . При этом точка   является выпуклой комбинацией точек  , так как она находится

внутри отрезка, соединяющего точки   и  . Однако, тогда расстояние от точки  , являющейся основанием перпендикуляра,

опущенного из вершины   на гипотенузу  , до вершины   строго меньше, чем расстояние от вершины   до вершины  , т.е.

 .

Следовательно точка   не может принадлежать множеству  , так как это предположение противоречит тому, что функция   достигает своего минимума в точке  .

Таким образом, ни одна из точек множества   не содержится в гиперплоскости  . Значит, всё множество   содержится в одном из двух полупространств, определяемых

гиперплоскостью  . Эти полупространства определяются следующими неравенствами:

 

и

 ,

где числа   и   являются коэффициентами уравнения гиперплоскости  , задаваемой уравнением:

 

Теперь, если заменить   на  , т.е. умножить уравнение гиперплоскости   на  , то гиперплоскость останется неизменной, а

полупространства поменяются местами. Следовательно, можно считать, что полупространство, в котором содержится множество  , определяется неравенством:

 .

Это доказывает теорему.

ЛитератураПравить

  • Дж. фон Нейман. Теория игр и экономическое поведение / Дж. фон Нейман, О. Моргенштерн. Пер. с англ. под ред. и с доб. Н.Н. Воробьева. - М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1970. - 708 с.
  • Дюбин, Г.Н. Введение в прикладную теорию игр / Г.Н. Дюбин, В.Г. Суздаль. – М. : Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1981. – 336 с.
  • Оуэн, Г. Теория игр. / Г. Оуэн. [пер. с англ.] / Под ред. А.А. Корбута. – М. : Издательство «Мир», 1971. – 229 с.