Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров — теорема, формулирующая свойства решений обыкновенных дифференциальных уравнений с параметрами. Характер зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров представляет значительный интерес для практики.

Теорема о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров вместе с подробным доказательством излагается в университетских учебниках МГУ, учебнике для инженерно-физических и физико-технических специальностей вузов. Значимость теоремы о зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров определяется тем, что при описании физических систем посредством дифференциальных уравнений эмпирические оценки внешних воздействий и параметров начального положения производятся обычно с некоторой ошибкой. Для того, чтобы решение дифференциального уравнения, которое описывает физический процесс, имело практическую ценность, необходимо быть уверенным, что небольшие ошибки в параметрах ведут к небольшим изменениям в решении.

Формулировка

Система обыкновенных дифференциальных уравнений

${\vec {\dot {y}}}={\vec {f}}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})$

(1)

где $t$ — независимая скалярная переменная, ${\vec {y}}=(y_{1},...,y_{n})$ — вектор, ${\vec {\mu }}=(\mu _{1},...,\mu _{m})$ — вектор, ${\vec {f}}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})=(f_{1}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }}),...,f_{n}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }}))$, — векторная функция вектора ${\vec {y}}$, вектора ${\vec {\mu }}$ и скаляра $t$, знак ${\dot {y}}$ означает производную $y$ по $t$.

Если все функции $f_{i}(t,{\vec {y}},{\vec {\mu }})$, $i=1,...n$ и все их частные производные до $p$-го $(p\geqslant 1)$ порядка по всем $y_{i}$ и $\mu _{k}$ непрерывны по всем их аргументам и ограничены, когда точка $(t,{\vec {y}})$ находится в области $G$, а $\left|\mu _{k}\right|<C,k=1,...,m$, где $C$ — некоторое положительное число, то для каждой внутренней точки $(t_{0},{\vec {y_{0}}})$ области $G$ можно указать такой интервал $(a,b)$, заключающий внутри себя точку $t_{0}$, что при всех рассматриваемых $\mu _{k}$ на нём существует одна и только одна система функций

${\vec {y}}={\vec {\varphi }}(t,{\vec {\mu }})\,,$

которые удовлетворяют системе (1), имеют непрерывные производные до $p$-го порядка по всем ${\vec {\mu }}$ и при $t=t_{0}$ обращаются в ${\vec {y_{0}}}$. Эта теорема остаётся верной и для $p=0$, если функции ${\vec {f}}$ удовлетворяют условию Липшица по ${\vec {y}}$ с коэффициентом, не зависящим от $\mu$.

Пояснения

Областью $G$ называется непустое множество точек, обладающее следующими двумя свойствами:

1. Каждая точка $G$ есть внутренняя, то есть она имеет окрестность, целиком принадлежащую G.
2. Множество $G$ связно, те любые две его точки можно соединить состоящей из конечного

числа звеньев ломаной, целиком лежащей внутри $G$.

Литература

• И.Г. Петровский. Лекции по теории обыкновенных дифференциальных уравнений. — М.,Л.: ГосТехТеорИздат, 1949. — 208 с.
• П.И. Лизоркин. Курс дифференциальных и интегральных уравнений с дополнительными главами анализа. — М.: Наука, 1981. — 384 с.