Теорема о кинетической энергии системы

Теоре́ма о кинети́ческой эне́ргии систе́мы — одна из общих теорем динамики[1], является следствием законов Ньютона. Связывает кинетическую энергию механической системы с работой сил, действующих на тела, составляющие систему. В качестве системы, о которой идёт речь, может выступать любая механическая система, состоящая из любых тел[2][3].

Формулировка теоремыПравить

Кинетической энергией системы называют сумму кинетических энергий всех тел, входящих в систему. Для определённой таким образом величины справедливо утверждение[2][3]:

Изменение кинетической энергии системы равно работе всех внутренних и внешних сил, действующих на тела системы.

Теорема допускает обобщение на случай неинерциальных систем отсчёта. В этом случае к работе всех внешних и внутренних сил необходимо добавить работу переносных сил инерции (кориолисовы силы инерции не могут производить работу)[4].

Доказательство теоремыПравить

Рассмотрим систему материальных точек с массами  , скоростями   и кинетическими энергиями  . Для малого изменения кинетической энергии (дифференциала), происходящего в течение некоторого малого промежутка времени   будет выполняться

 

Учитывая, что   представляет собой ускорение i-ой точки  , а   — перемещение той же точки   за время  , полученное выражение можно записать в виде:

 

Используя второй закон Ньютона и обозначая равнодействующую всех сил, действующих на точку, как  , получаем

 

а затем в соответствии с определением работы  

 

Суммирование всех уравнений такого вида, записанных для каждой из материальных точек, приводит к формуле для изменения полной кинетической энергии системы:

 

Данное равенство выражает утверждение теоремы об изменении кинетической энергии системы в дифференциальном виде.

Проинтегрировав обе части полученного равенства по произвольно взятому промежутку времени между некоторыми   и  , получим выражение теоремы об изменении кинетической энергии в интегральной форме:

 

где   и   — значения кинетической энергии системы в моменты времени   и   соответственно.

Необходимо подчеркнуть, что здесь, в отличие от случаев теоремы об изменении количества движения системы и теоремы о движении центра масс системы, учитывается действие не только внешних, но внутренних сил.

Закон сохранения механической энергииПравить

Отдельный интерес представляют системы, в которых на тела действуют потенциальные силы[5]. Для таких сил вводится понятие потенциальной энергии, изменение которой в случае одной материальной точки по определению удовлетворяет соотношению:

 

где   и   — значения потенциальной энергии точки в начальном и конечном состояниях соответственно, а   — работа потенциальной силы, совершаемая при перемещении точки из начального состояния в конечное.

Изменение потенциальной энергии системы получается в результате суммирования изменений энергий всех тел системы:

 

Если все внутренние и внешние силы, действующие на тела системы, потенциальны[6], то

 

Подставляя полученное выражение в уравнение теоремы о кинетической энергии, получим:

 

или, что то же самое

 

Иначе говоря, получается, что для полной механической энергии системы   выполняется

 

Таким образом, можно сделать вывод:

Если на тела системы действуют только потенциальные силы, то полная механическая энергия системы сохраняется.

Данное утверждение и составляет содержание закона сохранения механической энергии, являющегося следствием теоремы о кинетической энергии и одновременно частным случаем общего физического закона сохранения энергии[2][3].

Случай системы с идеальными стационарными связямиПравить

В тех случаях, когда предметом изучения является лишь движение системы, а реакции связей не представляют интереса, пользуются формулировкой теоремы для системы с идеальными стационарными связями, которая выводится с учетом принципа Даламбера-Лагранжа.

Теорема об изменении кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями утверждает[7]:

Дифференциал кинетической энергии системы с идеальными стационарными связями равен сумме элементарных работ на действительных перемещениях действующих внешних и внутренних сил

ДоказательствоПравить

Заменяя в общем уравнении динамики   на  , получаем:

 

или

 

Поскольку  , получаем окончательно:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Тарг С. М. Динамика // Физическая энциклопедия : [в 5 т.] / Гл. ред. А. М. Прохоров. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — Т. 1: Ааронова — Бома эффект — Длинные линии. — С. 616-617. — 707 с. — 100 000 экз.
  2. 1 2 3 Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики. — М.: Высшая школа, 1995. — С. 301-323. — 416 с. — ISBN 5-06-003117-9.
  3. 1 2 3 Журавлёв В. Ф. Основы теоретической механики. — М.: Физматлит, 2001. — С. 70-71. — 319 с. — ISBN 5-95052-041-3.
  4. Жирнов Н. И. Классическая механика. — Серия: учебное пособие для студентов физико-математических факультетов педагогических институтов. — М., Просвещение, 1980. — Тираж 28 000 экз. — с. 262
  5. Напомним, что силы называют потенциальными, если работа, совершаемая ими при перемещении материальной точки, определяется только начальным и конечным положениями точки и не зависит от выбора траектории.
  6. То есть, диссипативные силы отсутствуют.
  7. 1 2 Бугаенко Г. А., Маланин В. В., Яковлев В. И. Основы классической механики. — М.: Высшая школа, 1999. — С. 221-223. — ISBN 5-06-003587-5