Теорема о примитивном элементе

Теорема о примитивном элементе — это результат в теории полей, описывающий условия, при которых конечное расширение поля является простым. Более подробно, теорема о примитивном элементе характеризует расширения конечной степени , такие что существует примитивный элемент с .

ТерминологияПравить

Пусть   — произвольное расширение поля. Элемент   называется примитивным элементом для расширения  , если

 

Расширения, для которых существует хотя бы один примитивный элемент, называются простыми расширениями. Любой элемент   простого расширения можно записать в виде

  где  

Если же, кроме того   сепарабельно и имеет степень n, существует  , такое что множество

 

образует базис E как векторного пространства над F.

ФормулировкаПравить

Следующая формулировка теоремы принадлежит Эмилю Артину:

Теорема. Пусть   — конечное расширение поля. Тогда   для некоторого   тогда и только тогда, когда число промежуточных полей K вида   конечно.

Из этого утверждения следует более традиционная формулировка теоремы о примитивном элементе:

Следствие. Пусть   — конечное сепарабельное расширение. Тогда   для некоторого  .

Это следствие можно немедленно применить к произвольным алгебраическим числовым полям, так как поле   имеет характеристику 0, следовательно, любое его расширение сепарабельно.

ПримерПравить

Далеко не очевидно, что если добавить в   корни многочленов   и  , получив поле   степени 4 над  , то существует элемент  , через степени которого выражаются как  , так и  . Оказывается, однако, что этому условию удовлетворяет

 

Степени   выражаются как сумма   и   с целыми коэффициентами. Записав соответствующую систему линейных уравнений, можно выразить из неё   и   (например,  ) откуда следует, что   является примитивным элементом.

ПримечанияПравить