Открыть главное меню
Triangle.Isosceles.svg

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.

Pons asinorumПравить

 
Чертёж в доказательстве Евклида

Эту теорему, как и (реже) Теорему Пифагора, иногда называют лат. pons asinorum[1]({ref=la}}, [ˈpons asiˈnoːrʊm]) — «мост ослов». Словосочетание известно с 1645 г.[2]

Существуют два возможных объяснения такого названия. Одно состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — «ослы» его осилить не могут[1].

ДоказательстваПравить

Евклида и ПроклаПравить

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть,   на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства, проходит почти без изменений. Прокл, предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

 
Доказательство Прокла

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Отметим произвольную точку   на стороне   и построим точку   на стороне   так, что  . Проведём отрезки  ,   и  . Поскольку  ,   и угол   общий, по равенству двух сторон и угла между ними,  , а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол   и   и  . Поскольку   и  , вычитания из равных частей равные получаем  . Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что  . Отсюда   и  . Вычитания из равных частей равные получаем  . Вновь по тому же признаку, получаем, что  . Следовательно  .

ПаппПравить

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Поскольку угол   общий   по двум сторонам и углу между ними  . В частности,  .

ДругиеПравить

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Проведём биссектрису угла  . Пусть   — точка пересечения биссектрисы со стороной  . Заметим, что   поскольку  ,   и   общая сторона. Значит  .

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая   как середину  . Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.

СсылкиПравить

  1. 1 2 Smith, David Eugene. History Of Mathematics : [англ.]. — Ginn And Company, 1925. — Vol. II : Special topics of elementary mathematics. — P. 284. — 725 p.

    It formed at bridge across which fools could not hope to pass, and was therefore known as the pons asinorum, or bridge of fools.¹

    1. The term is something applied to the Pythagorean Theorem.

  2. Definition of Pons Asinorum (англ.). Merriam-Webster. Дата обращения 5 октября 2019.