Открыть главное меню
Triangle.Isosceles.svg

Теорема о равнобедренном треугольнике — классическая теорема геометрии, утверждающая, что углы, противолежащие боковым сторонам равнобедренного треугольника, равны. Эта теорема появляется как предложение 5 книги 1 «Начал» Евклида.

Справедливо и обратное утверждение: если два угла невырожденного треугольника равны, то стороны, противоположные им, также равны. Теорема справедлива в абсолютной геометрии, а значит и в геометрии Лобачевского, она выполняется также в сферической геометрии.

Содержание

Pons asinorumПравить

 
Чертёж в доказательстве Евклида

Эта теорема иногда называется лат. pons asinorum [ˈpons asiˈnoːrʊm] — «мост ослов»[1].

Существуют два возможных объяснения такого названия, один состоит в том, что чертёж, используемый в доказательстве Евклида напоминал мост. Другое объяснение в том, что это первое серьёзное доказательство в «Началах» Евклида — ослы по нему пройти не могут.[2]

ДоказательстваПравить

Евклида и ПроклаПравить

Евклид доказывает дополнительно, что если боковые стороны треугольника продолжить за основание, то углы между продолжениями и основанием тоже равны. То есть,   на чертеже к доказательству Евклида.

Прокл указывает на то, что Евклид никогда не использует это дополнительное утверждение и его доказательство можно немного упростить, проведя вспомогательные отрезки к боковым сторонам треугольника, а не к их продолжениям. Остальная часть доказательства, проходит почти без изменений. Прокл, предположил, что второй вывод может быть использован как обоснование в доказательстве последующего предложения, где Евклид не рассмотрел все случаи.

 
Доказательство Прокла

Доказательство опирается на предыдущее предложение в «Началах» — на то, что сегодня называют признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними.

Доказательство Прокла

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Отметим произвольную точку   на стороне   и построим точку   на стороне   так, что  . Проведём отрезки  ,   и  . Поскольку  ,   и угол   общий, по равенству двух сторон и угла между ними,  , а значит равны их соответствующие стороны и углы. Отсюда угол   и   и  . Поскольку   и  , вычитания из равных частей равные получаем  . Применяя вновь признак равенства треугольников по двум сторонам и углу между ними, получаем, что  . Отсюда   и  . Вычитания из равных частей равные получаем  . Вновь по тому же признаку, получаем, что  . Следовательно  .

ПаппПравить

Прокл также приводит очень короткое доказательство, приписываемое Паппу. Оно проще и не требует дополнительных построений. В доказательстве применяется признак равенства по двум сторонам и углу между ними к треугольнику и его зеркальному отражению.

Доказательство Паппа

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Поскольку угол   общий   по двум сторонам и углу между ними  . В частности,  .

ДругиеПравить

Доказательство Паппа иногда сбивает учеников тем, что нужно сравнивать треугольник «с самим собой». Поэтому, часто в учебниках даётся следующее более длинное доказательство. Оно проще чем доказательство Евклида, но использует понятие биссектрисы. В «Началах» построение биссектрисы угла приводится только в предложении 9. Поэтому порядок изложения приходится менять, чтобы избежать возможности кругового рассуждения.

Доказательство

Пусть   — равнобедренный треугольник с равными сторонами   и  . Проведём биссектрису угла  . Пусть   — точка пересечения биссектрисы со стороной  . Заметим, что   поскольку  ,   и   общая сторона. Значит  .

Лежандр использует подобные конструкции в своих «Éléments de géométrie», но, принимая   как середину  . Доказательство аналогично, но использует признак равенства треугольников по трём сторонам.

СсылкиПравить

  1. Definition of PONS ASINORUM (англ.). www.merriam-webster.com. Дата обращения 1 октября 2018.
  2. D. E. Smith History of Mathematics (1958 Dover) p. 284.