Открыть главное меню

Теорема о распределении простых чисел

Теорема о распределении простых чисел — теорема аналитической теории чисел, описывающая асимптотику распределения простых чисел. А именно, она утверждает, что функция распределения простых чисел (количество простых чисел на отрезке ) растёт с увеличением как , то есть:

когда

Грубо говоря, это означает, что у случайно выбранного числа от 1 до шанс оказаться простым примерно равен .

Также эта теорема может быть эквивалентным образом переформулирована для описания поведения -го простого числа : она утверждает, что

(здесь и далее запись означает, что когда аргумент функций стремится к бесконечности).

Более точно распределение простых чисел описывает функция интегрального логарифма. При справедливости гипотезы Римана верно[1]

ИсторияПравить

Первым статистическую закономерность в расположении простых чисел подметил Гаусс. В письме Энке (1849) он сообщил, что ещё в 1792 или 1793 году, чисто эмпирически, обнаружил, что плотность простых чисел «в среднем близка к величине, обратно пропорциональной логарифму»[2]. К этому времени, основываясь на таблицах простых чисел, составленных Фелкелем и Вегой, Лежандр предположил (в 1796 году), что функция распределения простых чисел   (число простых чисел, не превосходящих x) может быть приближена выражением:

 

где   Гаусс в упомянутом письме критикует формулу Лежандра и, используя эвристические рассуждения, предлагает другую приближающую функцию — интегральный логарифм:

 

Однако Гаусс нигде не опубликовал эту гипотезу. Оба приближения, как Лежандра, так и Гаусса, приводят к одной и той же предполагаемой асимптотической эквивалентности функций   и  , указанной выше, хотя приближение Гаусса и оказывается существенно лучше, если при оценке ошибки рассматривать разность функций вместо их отношения.

В двух своих работах, 1848 и 1850 года, Чебышёв доказывает[3], что верхний M и нижний m пределы отношения

  (1)

заключены в пределах  , а также, что если предел отношения (1) существует, то он равен 1. Позднее (1881) Дж. Дж. Сильвестр сузил допустимый интервал для предела с 10% до 4%.

В 1859 году появляется работа Римана, рассматривающая (введённую Эйлером как функцию вещественного аргумента) ζ-функцию в комплексной области, и связывающая её поведение с распределением простых чисел. Развивая идеи этой работы, в 1896 году Адамар и Валле-Пуссен одновременно и независимо доказывают теорему о распределении простых чисел.

Наконец, в 1949 году появляется не использующее комплексный анализ доказательство ЭрдешаСельберга.

Общий ход доказательстваПравить

Переформулировка в терминах пси-функции ЧебышёваПравить

Общим начальным этапом рассуждений является переформулировка закона распределения простых чисел в терминах пси-функции Чебышёва, определяемой как

 

иными словами, пси-функция Чебышёва это сумма функции Мангольдта:

 

А именно, оказывается, что асимптотический закон распределения простых чисел равносилен тому, что

 

Это происходит из-за того, что логарифм «почти постоянен» на большей части отрезка  , а вклад квадратов, кубов, и т. д. в сумму (*) пренебрежимо мал; поэтому практически все складываемые логарифмы   примерно равны  , и функция   асимптотически ведёт себя так же, как  .

Классические рассуждения: переход к дзета-функции РиманаПравить

Как следует из тождества Эйлера,

 

ряд Дирихле («производящая функция»), соответствующий функции Мангольдта, равен минус логарифмической производной дзета-функции:

 

Кроме того, интеграл по вертикальной прямой, находящейся справа от 0, от функции   равен   при   и 0 при  . Поэтому, умножение правой и левой части на   и (аккуратное — несобственные интегралы сходится только условно!) интегрирование по вертикальной прямой по   оставляет в левой части в точности сумму   с  . С другой стороны, применение теоремы о вычетах позволяет записать левую часть в виде суммы вычетов; каждому нулю дзета-функции соответствует полюс первого порядка её логарифмической производной, с вычетом, равным 1, а полюсу первого порядка в точке   — полюс первого порядка с вычетом, равным  .

Строгая реализация этой программы позволяет получить[4] явную формула Римана (англ.)[5]:

 

Суммирование тут ведётся по нулям   дзета-функции, лежащим в критической полосе  , слагаемое   отвечает полюсу   в нуле, а слагаемое   — так называемым «тривиальным» нулям дзета-функции  .

Отсутствие нетривиальных нулей дзета-функции вне критической полосы и влечёт за собой искомое утверждение   (сумма в формуле (**) будет расти медленнее, чем  ). Кроме того, гипотеза Римана влечёт за собой «оптимальную» оценку на возможные отклонения   от  , и, соответственно, на отклонения   от  .

Элементарное доказательство: завершение Эрдеша-СельбергаПравить

Основная теорема арифметики, записывающаяся после логарифмирования как

 

тем самым формулируется в терминах арифметических функций и свёртки Дирихле как

 

где   и   — арифметические функции, логарифм аргумента и тождественная единица соответственно.

Формула обращения Мёбиуса позволяет перенести   в правую часть:

 

где   — функция Мёбиуса.

Сумма левой части (**) — искомая функция  . В правой части, применение формулы гиперболы Дирихле позволяет свести сумму свёртки к сумме   где   — сумма логарифма. Применение формулы Эйлера-Маклорена позволяет записать   как

 

где   — постоянная Эйлера. Выделяя из этого выражения слагаемые, имеющие вид   для подходящим образом подобранной функции F (а именно,  ), и обозначая через R остаток, имеем в силу обращения Мёбиуса

 

Поскольку   остаётся проверить, что второе слагаемое имеет вид  . Применение леммы Аскера позволяет свести эту задачу к проверке утверждения   где   — функция Мертенса, сумма функции Мёбиуса.

Малость сумм функции Мёбиуса на подпоследовательности следует из формулы обращения, применённой к функции  .

Далее, функция Мёбиуса в алгебре арифметических функций (с мультипликативной операцией-свёрткой) удовлетворяет «дифференциальному уравнению» первого порядка

 

где   — дифференцирование в этой алгебре (переход к рядам Дирихле превращает его в обычное дифференцирование функции). Поэтому она удовлетворяет и уравнению второго порядка

 

«Усредение» этого уравнения и то, что асимптотика суммы функции   оценивается лучше асимптотики сумм  , позволяет оценивать отношение   через средние значения такого отношения. Такая оценка вкупе с «малостью по подпоследовательности» и позволяет получить искомую оценку  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Совр. пробл. матем., 2008, выпуск 11. - с. 30-31
  2. Дербишир, 2010, с. 178-179..
  3. Ахиезер Н. И. П. Л. Чебышёв и его научное наследие.
  4. Sketch of the Riemann--von Mangoldt explicit formula
  5. Weisstein, Eric W. Explicit Formula (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.

ЛитератураПравить

Классические трудыПравить

Современная литератураПравить

СсылкиПравить