Теорема разложения Гельмгольца

Теорема разложения Гельмгольца — утверждение о разложении произвольного дифференцируемого векторного поля на две компоненты:

Если дивергенция и ротор векторного поля определены в каждой точке конечной открытой области V пространства, то всюду в V функция может быть представлена в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля :

где

для всех точек области V.

В более популярной формулировке для всего пространства теорема Гельмгольца гласит:

Любое векторное поле , однозначное, непрерывное и ограниченное во всем пространстве, может быть разложено на сумму потенциального и соленоидального векторных полей и представлено в виде:

где

Скалярная функция называется скалярным потенциалом, векторная функция называется векторным потенциалом.[1].

Формулировка теоремыПравить

Пусть F — векторное поле в R³, и пусть оно дважды непрерывно дифференцируемо и убывает на бесконечности быстрее, чем 1/r, в случае неограниченной области.[2] Тогда поле F представимо в виде суммы безвихревого поля (ротор которого равен нулю) и соленоидального поля (дивергенция которого равна нулю).

Одно из возможных представлений для векторного поля F в такой форме имеет вид суммы градиента и ротора двух явно вычислимых функций, как написано ниже:

 

где   — это оператор ньютониан (если он действует на векторное поле вроде ∇ × F, он действует на каждую его компоненту).

Если F имеет нулевую дивергенцию, ∇·F = 0, то F называется соленоидальным, или бездивергентным, и разложение Гельмгольца поля F сокращается до

 

В случае такого представлении поля A называется векторным потенциалом поля F. Для соленоидального поля (то есть поля с нулевой дивергенцией) всегда можно построить вектор-функцию (векторный потенциал), ротором которого данное поле является. Векторный потенциал для заданного соленоидального поля определяется со значительной степенью свободы. В частности, без ограничения общности на него можно наложить условие кулоновской калибровки (или нормировки) ∇·A = 0 (частный случай бездивергентного векторного потенциала, см. также ниже задачу о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции). К векторному потенциалу можно свободно добавить градиент любой скалярной функции — от этого его ротор, то есть определяемое им соленоидальное поле, не меняется (а если указанная скалярная функция удовлетворяет уравнению Лапласа, то не меняется также и условие кулоновской калибровки, когда векторный потенциал ему удовлетворяет).

В случае, если F имеет нулевой ротор, ∇×F = 0, то F называется безвихревым или локально потенциальным полем, а разложение F принимает вид

 

В случае такого представления поля φ называется скалярным потенциалом поля F. Для безвихревого поля (то есть поля с нулевым ротором) всегда можно построить скалярную функцию (скалярный потенциал), градиентом которого данное поле является. Скалярный потенциал для заданного безвихревого поля определяется с точностью до аддитивной константы.

В общем случае F представимо суммой

 ,

где отрицательный градиент скалярного потенциала — безвихревая компонента поля, а ротор векторного потенциала — соленоидальная. Представление F в виде суммы безвихревого поля и соленоидального поля не является единственным, поскольку к φ всегда можно прибавить произвольную функцию ψ, удовлетворяющую уравнению Лапласа, а к A — согласованную с ψ вектор-функцию H, являющуюся результатом решения задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции (см. ниже) в соответствии с уравнениями ∇·H = 0, ∇×H = ∇ψ. Такая подстановка не только меняет скалярный и векторный потенциалы, участвующие в разложении Гельмгольца, но и существенным образом меняет безвихревое поле -∇(φ+ψ) и соленоидальное поле ∇×(A+H), на сумму которых распадается поле F.

Поля, определенные ротором и дивергенциейПравить

С теоремой Гельмгольца тесно связана задача о восстановлении векторного поля по дивергенции и ротору, которую иногда называют задачей Гельмгольца.

Пусть дано скалярное поле       и векторное поле    ,   которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Требуется найти такое векторное поле    ,   что

       и       

При анализе существования и единственности решения задачи следует различать:

  1. внутреннюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются внутри ограниченной области, имеющей достаточно гладкую границу),
  2. внешнюю задачу (ротор, дивергенция и сама вектор-функция рассматриваются для пространства R³ с вырезанной «дыркой», имеющей достаточно гладкую границу),
  3. задачу для всего пространства R³.

Внутренняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция        для вектор-функции  .

Внешняя задача (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если вдоль границы области задана нормальная проекция        для вектор-функции  , и на вектор-функцию   наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как    .

Задача для всего пространства R³ (при условии её разрешимости) имеет однозначное решение, если на вектор-функцию   наложено требование, что она убывает на бесконечности по крайней мере как    .

Во всех этих случаях решение задачи Гельмгольца единственно, если оно существует при заданных входных данных.

Необходимые условия существования решенияПравить

Задача имеет решение не при всех    ,       и      :

  1. Из тождества       следует, что должно быть выполнено условие    ,   то есть дивергенция вектора       обязана быть равной нулю.
  2. Для внутренней задачи из тождества       следует, что    ,   то есть интеграл от краевого условия       по ограничивающей поверхности       должен быть равен интегралу от функции       по объему области.
  3. Для внешней задачи и для задачи, заданной для всего пространства R³, функции        и         должны достаточно быстро стремиться к нулю на бесконечности вместе с самой функцией.

Достаточные условия существования и единственности решенияПравить

A. Внутренняя задача: если

  1.     и  
  2.  ,  
то решение задачи восстановления поля       по ротору    ,   дивергенции       и граничному условию       существует и единственно.

Б. Внешняя задача: если

  1.     и  
  2. интегралы     и       сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при       по крайней мере как    ,  
то решение задачи восстановления поля       по ротору    ,   дивергенции    ,   граничному условию       и условию, что       спадает на бесконечности по крайней мере как    ,   существует и единственно.

В. Задача для всего пространства R³: если

  1.     и  
  2. интегралы     и       сходятся при интегрировании по бесконечному объему и убывают на бесконечности при       по крайней мере как    ,  
то решение задачи восстановления поля       по ротору    ,   дивергенции       и условию, что       спадает на бесконечности по крайней мере как    ,   существует и единственно.

Разрешимость и однозначность решения задачи Гельмгольца тесно связана с разрешимостью и однозначностью решения задачи Неймана для уравнения Лапласа в той же самой области (см. далее алгоритм конструирования решения задачи Гельмгольца).

Разложение векторного поля на сумму безвихревого поля и соленоидального поляПравить

С помощью задачи о восстановлении вектор-функции по ротору и дивергенции разложение векторного поля   на сумму безвихревого поля и соленоидального поля может быть выполнено следующим образом:

  1. Для заданной вектор-функции   вычисляются: функция   функция  , краевое условие  , если вектор-функция   задана для подобласти пространства   с границей  .
  2. Когда речь идёт о внутренней задаче, то из тождества  , следует условие совместности  . Поэтому все условия совместности входных данных для задачи   и   с краевым условием   выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   является безвихревым полем.
  3. Поскольку  , условия совместности входных данных для задачи   и   с нулевым краевым условием выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. Полученная вектор-функция   является соленоидальным полем.
  4. Рассмотрим задачу  ,   с краевым условием  . Условия совместности входных данных выполнены, задача разрешима и имеет единственное решение. При этом с одной стороны, решением данной задачи является сама функция  , а с другой стороны, решением этой же задачи является функция  . Значит,  , искомое представление поля   как суммы безвихревого поля и соленоидального поля построено.

Построенное представление векторного поля в виде суммы двух полей не является единственным. Существуют векторные поля, которые одновременно являются и безвихревыми (ротор равен нулю), и соленоидальными (дивергенция равна нулю). Эти поля — градиенты скалярных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа (и только они). Прибавляя любое такое поле к первому слагаемому и вычитая его из второго слагаемого, получим новое разбиение векторного поля на сумму безвихревого и соленоидального поля.

Восстановление вектор-функции по ротору и дивергенцииПравить

Решение задачи о восстановлении функции по ротору, дивергенции и краевому условию может быть построено следующим образом:

1) Для заданной функции       вычисляется функция    ,   где скалярный потенциал       вычисляется по формуле
   .  
В результате получается функция    ,   у которой       и    ;  
2) Для заданной функции       вычисляется функция    ,   где векторный потенциал       вычисляется по формуле
   .  
В результате получается функция    ,   у которой       и    ;  
3) Ищется функция    ,   у которой    ,      ,   а нормальная проекция на границе области       выбрана таким образом, чтобы       удовлетворяла граничному условию    .  
Чтобы найти такую функцию    ,   делается подстановка    ,   где скалярный потенциал       должен удовлетворять уравнению Лапласа    .   Для функции       получается краевое условие Неймана    ,    причем легко проверить, что критерий разрешимости задачи Неймана будет выполнен. Поэтому функция       всегда существует, определяется единственным образом для внешней задачи, и с точностью до аддитивной константы для внутренней задачи. В результате нужная нам функция       всегда существует и единственна.

Функция       является решением для поставленной задачи, причём единственным. Если граничное условие не задано, решением задачи являются все возможные функции вида    ,   где    ,   есть градиент любой функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа. Если задача ставится во всём пространстве R³, решением (единственным) будет функция    ,   обладающая нужным поведением на бесконечности.

Альтернативная формулировка теоремы ГельмгольцаПравить

В результате теорема Гельмгольца может быть переформулирована в следующих терминах. Пусть C — соленоидальное векторное поле (div C=0), а d — скалярное поле в R³, которые достаточно гладки и либо заданы в ограниченной области, либо убывают быстрее 1/r² на бесконечности. Тогда существует векторное поле F такое, что

    и    

Если к тому же векторное поле F рассматривается во всём пространстве R³ и исчезает при r → ∞, тогда F единственно.[2] В общем же случае решение определяется с точностью до аддитивной добавки — градиента произвольной функции, удовлетворяющей уравнению Лапласа.

Другими словами, при определённых условиях векторное поле может быть построено по его ротору и дивергенции, причём когда задача определена во всем пространстве R³, решение однозначно (при априорном предположении, что поле исчезает на бесконечности достаточно быстро). Эта теорема имеет огромное значение в электростатике; например, уравнения Максвелла в статическом случае описывают поля как раз этого типа[2]. Как уже было написано выше, одно из возможных решений:

 

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Ли, 1965, с. 50.
  2. 1 2 3 David J. Griffiths, Introduction to Electrodynamics, Prentice-Hall, 1989, p. 56.

ЛитератураПравить