Теорема синусов
Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:
Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. |
и расширенная теорема синусов:
Для произвольного треугольника где , , — стороны треугольника, — соответственно противолежащие им углы, а — радиус окружности, описанной около треугольника. |
ДоказательстваПравить
Доказательство обычной теоремы синусовПравить
Воспользуемся только определением высоты треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:
- . Следовательно, , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.
Доказательство расширенной теоремы синусовПравить
Достаточно доказать, что
Проведем диаметр для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол прямой, а угол равен либо , если точки и лежат по одну сторону от прямой , либо в противном случае. Поскольку , в обоих случаях получаем
- .
Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:
Вариации и обобщенияПравить
В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.
где — угол между гранями и ; — общая грань и ; — объем симплекса.
ИсторияПравить
- В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
- Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
- Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].
См. такжеПравить
ПримечанияПравить
- ↑ Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991. — P. 47
- ↑ Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook (англ.). — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
- ↑ Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602
- ↑ Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani