Теорема синусов

Эта статья — о теореме планиметрии. О теореме для сферических треугольников см. Теорема синусов (сферическая геометрия).

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стандартные обозначения

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов. ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R,$ где $a$, $b$, $c$ — стороны треугольника, $\alpha ,\beta ,\gamma$ — соответственно противолежащие им углы, а $R$ — радиус окружности, описанной около треугольника.

Доказательства

Доказательство обычной теоремы синусов

Воспользуемся только определением высоты $h_{b}$ треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

$h_{b}=a\sin \gamma =c\sin \alpha$. Следовательно, ${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {c}{\sin \gamma }}$, что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов. ∎

Доказательство расширенной теоремы синусов

Доказательство

Достаточно доказать, что

${\frac {a}{\sin \alpha }}=2R.$

Проведем диаметр $|BG|$ для описанной окружности. По свойству углов, вписанных в окружность, угол $GCB$ прямой, а угол $CGB$ равен либо $\alpha$, если точки $A$ и $G$ лежат по одну сторону от прямой $BC$, либо $\pi -\alpha$ в противном случае. Поскольку $\sin(\pi -\alpha )=\sin \alpha$, в обоих случаях получаем

$a=2R\sin \alpha$.

Повторив то же рассуждение для двух других сторон треугольника, получаем:

${\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}=2R.$ ∎

Доказательство через формулы нахождения площади треугольника

Возьмем две формулы для нахождения площади треугольника $S={\frac {abc}{4R}}$ и $S={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma .$

${\begin{cases}{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ab\sin \gamma \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}ac\sin \beta \\{\frac {abc}{4R}}={\frac {1}{2}}bc\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}{\frac {c}{2R}}=\sin \gamma \\{\frac {b}{2R}}=\sin \beta \\{\frac {a}{2R}}=\sin \alpha \end{cases}}\Leftrightarrow {\begin{cases}2R={\frac {c}{\sin \gamma }}\\2R={\frac {b}{\sin \beta }}\\2R={\frac {a}{\sin \alpha }}\end{cases}}\Leftrightarrow 2R={\frac {a}{\sin \alpha }}={\frac {b}{\sin \beta }}={\frac {c}{\sin \gamma }}.$ ∎

Вариации и обобщения

В треугольнике против большего угла лежит бо́льшая сторона, против большей стороны лежит больший угол.

В симплексе

$V_{n}={\frac {n-1}{n}}\cdot {\frac {{V_{n-1}^{i}}{V_{n-1}^{j}}}{V_{n-2}^{i,j}}}\cdot \sin {A_{i,j}},$

где $A_{i,j}$ — угол между гранями $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$; $V_{n-2}^{i,j}$ — общая грань $V_{n-1}^{i}$ и $V_{n-1}^{j}$; $V_{n}$ — объём симплекса.

История

• В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется.
• Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке.
• Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере.

Вариации и обобщения

• Сферическая теорема синусов
• На плоскости Лобачевского с кривизной $-1$ теорема синусов принимает следующую форму:

  ${\frac {\sin A}{\mathrm {sh} \,a}}={\frac {\sin B}{\mathrm {sh} \,b}}={\frac {\sin C}{\mathrm {sh} \,c}}.$

• Теорема косинусов
• Теорема котангенсов
• Теорема о проекциях
• Теорема Пифагора
• Теорема тангенсов
• Тригонометрические тождества
• Тригонометрические функции
• Формулы Мольвейде