Открыть главное меню
Стандартные обозначения

Теоре́ма си́нусов — теорема, устанавливающая зависимость между длинами сторон треугольника и величиной противолежащих им углов. Существуют два варианта теоремы; обычная теорема синусов:

Стороны треугольника пропорциональны синусам противолежащих углов.

и расширенная теорема синусов:

Для произвольного треугольника

где , ,  — стороны треугольника,  — соответственно противолежащие им углы, а  — радиус окружности, описанной около треугольника.

Содержание

ДоказательстваПравить

Доказательство обычной теоремы синусовПравить

Воспользуемся только определением высоты   треугольника, опущенной на сторону b, и синуса для двух углов:

 . Следовательно,  , что и требовалось доказать. Повторив те же рассуждения для двух других сторон треугольника, получаем окончательный вариант обычной теоремы синусов.

Доказательство расширенной теоремы синусовПравить

Вариации и обобщенияПравить

В треугольнике против бо́льшего угла лежит большая сторона, против бо́льшей стороны лежит больший угол.

В симплексе  

где   — угол между гранями   и  ;   — общая грань   и  ;   — объем симплекса.

ИсторияПравить

  • В первой главе Альмагеста (около 140 года н. э.) теорема синусов используется, но явно не формулируется[1].
  • Древнейшее из дошедших до нас доказательств теоремы синусов на плоскости описано в книге Насир ад-Дин Ат-Туси «Трактат о полном четырёхстороннике» написанной в XIII веке[2].
  • Теорема синусов для сферического треугольника была доказана математиками средневекового Востока ещё в X веке[3]. В труде Ал-Джайяни XI века «Книга о неизвестных дугах сферы» приводилось общее доказательство теоремы синусов на сфере[4].

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. Florian Cajori. A History of Mathematics — 5th edition 1991. — P. 47
  2. Berggren, J. Lennart. Mathematics in Medieval Islam // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. — Princeton University Press, 2007. — P. 518. — ISBN 9780691114859.
  3. Sesiano just lists al-Wafa as a contributor. Sesiano, Jacques (2000). «Islamic mathematics», pp. 137. — Page 157, in Selin, Helaine & D'Ambrosio, Ubiratan (2000), Mathematics Across Cultures: The History of Non-western Mathematics, Springer, ISBN 1402002602 
  4. Abu Abd Allah Muhammad ibn Muadh Al-Jayyani