Теорема Пикара (теорема Пикара — Линделёфа, теорема Коши — Липшица) — основная теорема обыкновенных дифференциальных уравнений; приводит достаточные условия для существования и единственности решения обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка.

Формулировка править

Пусть  обыкновенное дифференциальное уравнение, где  ,   — векторное поле зависящее от параметра  . Если отображение   непрерывно и для любого фиксированного  , и отображение   — липшицево, то для любого   существует   такое, что на промежутке   существует решение уравнения с начальными данными  .

Замечания править

  • Верна также локальная версия теоремы.

О доказательстве править

Обычно в доказательстве применяется теорема Банаха о неподвижной точке к интегральной формы уравнения:

 

Вариации и обобщения править

Ссылки править

  • Арнольд В. И. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.:МЦНМО, 2018—344 с.
  • Lindelöf, E. (1894). "Sur l'application de la méthode des approximations successives aux équations différentielles ordinaires du premier ordre". Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences. 118: 454—7. (В этой публикации Э. Линделёф обсуждает обобщение подхода, предложенного ранее Э. Пикаром.)