Открыть главное меню

Тео́рия Галуа́ — раздел алгебры, позволяющий переформулировать определённые вопросы теории полей на языке теории групп, делая их в некотором смысле более простыми.

Эварист Галуа сформулировал основные утверждения этой теории в терминах перестановок корней заданного многочленарациональными коэффициентами); он был первым, кто использовал термин «группа» для описания множества перестановок, замкнутого относительно композиции и содержащего тождественную перестановку.

Более современный подход к теории Галуа заключается в изучении автоморфизмов расширения произвольного поля при помощи группы Галуа, соответствующей данному расширению.

ПриложенияПравить

Теория Галуа даёт единый элегантный подход к решению таких классических задач как

  1. Какие фигуры можно построить циркулем и линейкой?
  2. Какие алгебраические уравнения разрешимы с помощью стандартных алгебраических операций (сложение, вычитание, умножение, деление и извлечение корня)?

Симметрии корнейПравить

Симметрии корней — такие перестановки на множестве корней многочлена, для которых любому алгебраическому уравнению с рациональными коэффициентами (с несколькими переменными), которому удовлетворяют корни, удовлетворяют и переставленные корни.

Пример: квадратное уравнениеПравить

У многочлена второй степени   имеются два корня   и  , симметричных относительно точки  . Возможны два варианта:

  • Если эти корни рациональны, то уравнению   удовлетворяет только один корень, и группа уравнения тривиальна.
  • Если корни иррациональны, то группа содержит один нетривиальный элемент   и изоморфна  .

Более сложный примерПравить

Рассмотрим теперь многочлен  .

Его корни:  .

Существует   различных перестановки корней этого уравнения, но не все они являются симметриями. Элементы группы Галуа должны сохранять любые алгебраические уравнения с рациональными коэффициентами.

Одно из таких уравнений —  . Поскольку  , перестановка   не входит в группу Галуа.

Кроме того, можно заметить, что  , но  . Поэтому перестановка   не входит в группу.

Окончательно можно получить, что группа Галуа многочлена состоит из четырёх перестановок:

 
 
 
 

и является четверной группой Клейна, изоморфной  .

Формулировка в терминах теории полейПравить

Теория полей даёт более общее определение группы Галуа как группы автоморфизмов произвольного расширения Галуа.

На этом языке можно сформулировать все утверждения, касающиеся «симметрий» корней многочлена. А именно, пусть коэффициенты данного многочлена принадлежат полю K. Рассмотрим алгебраическое расширение L поля K корнями многочлена. Тогда группа Галуа многочлена — это группа автоморфизмов поля L, оставляющих элементы поля K на месте, то есть группа Галуа расширения  . Например, в предыдущем примере была рассмотрена группа Галуа расширения  .

Разрешимые группы и решение уравнений в радикалахПравить

Решения полиномиального уравнения   выражаются в радикалах тогда и только тогда, когда группа Галуа данного уравнения разрешима.

Для любого   существует уравнение  -й степени, группа Галуа которого изоморфна симметрической группе  , то есть состоит из всех возможных перестановок. Поскольку группы   при   не являются разрешимыми, существуют многочлены степени  , корни которых не представимы при помощи радикалов, что является утверждением теоремы Абеля — Руффини.

Вариации и обобщенияПравить

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Колмогоров А. Н., Юшкевич А. П. (ред.) Математика XIX века. М.: Наука.