Теория Томаса — Ферми

Теория Томаса — Ферми (модель Томаса — Ферми) является квантовомеханической теорией электронной структуры системы многих тел, разработана с использованием квазиклассического приближения вскоре после открытия уравнения Шредингера Энрико Ферми и Люэлином Томасом[1][2]. Она основывается не на волновой функции, а формулируется в терминах электронной плотности и рассматривается как предшественник современной теории функционала плотности. Модель Томаса — Ферми правильна только в пределе бесконечного ядерного заряда. Используя это приближение для реальных систем теория дает плохие количественные предсказания и даже не в состоянии воспроизвести некоторые общие черты, такие как плотность оболочечной структуры атомов и осцилляции Фриделя в твердых телах. Она, однако, нашла приложения во многих областях благодаря возможности получать правильное качественное поведение аналитически и легкости с которой она может быть решена. Выражение кинетической энергии в теории Томаса-Ферми также используется в качестве компонента более сложного приближения для плотности кинетической энергии в современных теориях функционала плотности, где можно обойтись без орбиталей.

Кинетическая энергияПравить

Для малого элемента объема ΔV, и для атома в основном состоянии, мы можем заполнить в сферическом пространстве импульсов объем Vf  до импульса Ферми pf , и, таким образом,[3]

 

где   точка в ΔV.

Соответствующее фазовое пространство имеет объем

 

Электроны в ΔVph  распределены равномерно с двумя электронами в h3 этого объема фазового пространства, где h постоянная Планка.[4] Тогда число электронов в ΔVph  составит

 

Число электронов в ΔV :

 

где   плотность электронов.

Приравнивая число электронов в ΔV и в ΔVph  даёт,

 

Доля электронов в   чей импульс лежит между импульсами p и p+dp составит

 

Используя классическое выражение для кинетической энергии электрона с массой me, кинетической энергии в единице объема в   для электронов атома

 

где использовалось предыдущее выражение, связывающее   и   и

 

Интегрирование кинетической энергии в единице объема   во всем пространстве, приводит к полной кинетической энергии электронов,[5]

 

Этот результат показывает, что полная кинетическая энергия электронов может быть выражена в терминах только пространственно зависимой плотности электронов   согласно модели Томаса-Ферми. Как таковые, они смогли рассчитать энергию атома с помощью этого выражения для кинетической энергии в сочетании с классическими выражениями для ядерно-электронных и электрон-электронных взаимодействий (которые могут быть представлена в виде электронной плотности).

Потенциальная энергияПравить

Потенциальная энергия электронов атома, за счет электрического притяжения положительно заряженного ядра:

 

где   есть потенциальная энергия электрона в точке   находящегося в электрическом полем ядра. В случае когда ядро находится в точке   и зарядом Ze, где Z представляет собой натуральное число e элементарный заряд,

 

Потенциальная энергия электронов за счет их взаимного электрического отталкивания равна

 

Полная энергияПравить

Полная энергия электронов равна сумме их кинетической и потенциальной энергий,[6]

 

ПримечанияПравить

  1. Thomas, L. H. The calculation of atomic fields (неопр.) // Proc. Cambridge Phil. Soc.. — 1927. — Т. 23, № 5. — С. 542—548. — doi:10.1017/S0305004100011683. — Bibcode1927PCPS...23..542T.
  2. Fermi, Enrico. Un Metodo Statistico per la Determinazione di alcune Prioprietà dell'Atomo (итал.) // Rend. Accad. Naz. Lincei : diario. — 1927. — V. 6. — P. 602—607.
  3. March 1992, p.24
  4. Parr and Yang 1989, p.47
  5. March 1983, p. 5, Eq. 11
  6. March 1983, p. 6, Eq. 15

ЛитератураПравить

  1. R. G. Parr and W. Yang. Density-Functional Theory of Atoms and Molecules (англ.). — New York: Oxford University Press, 1989. — ISBN 978-0-19-509276-9.
  2. N. H. March. Electron Density Theory of Atoms and Molecules (англ.). — Academic Press, 1992. — ISBN 978-0-12-470525-8.
  3. N. H. March. 1. Origins – The Thomas–Fermi Theory // Theory of The Inhomogeneous Electron Gas (неопр.) / S. Lundqvist and N. H. March. — Plenum Press, 1983. — ISBN 978-0-306-41207-3.