Теория возмущений — метод приближённого решения задач прикладной математики и теоретической физики, применимый в том случае, когда в задаче присутствует малый параметр, причём в пренебрежении этим параметром задача имеет точное решение.
Величины, рассчитанные по теории возмущений, имеют вид ряда
где — решение невозмущённой задачи, — малый параметр. Коэффициенты находятся путём последовательных приближений, то есть выражается через . Применяется в небесной механике, квантовой механике, квантовой теории поля и т. д.
Метод теории возмущений основан на теореме о (непрерывной и дифференцируемой) зависимости решений обыкновенных дифференциальных уравнений от параметров.[1]
В небесной механике
правитьИсторически, первой дисциплиной, в которой была разработана теория возмущений, была небесная механика. Задача нахождения движения планет Солнечной системы есть задача тел, которая, в отличие от задачи двух тел, не имеет точного аналитического решения. Её решение, однако, облегчается тем, что ввиду малой массы планет, притяжение планет друг к другу намного слабее, чем притяжение их Солнцем. В пренебрежении массами планет задача сводится к независимым задачам двух тел, которые решаются точно; каждая планета движется в поле тяготения Солнца по эллиптической орбите согласно законам Кеплера. Это есть решение невозмущённой задачи, или нулевое приближение. Силы, действующие со стороны других планет, приводят к искажению, или возмущению этих эллиптических орбит. Для вычисления траектории планеты с учётом возмущения применяется следующий метод.
Положение планеты в пространстве и её скорость можно задать при помощи шести величин (по числу степеней свободы): большая полуось и эксцентриситет орбиты, наклонение орбиты её к плоскости эклиптики, долгота восходящего узла, аргумент перицентра и момент прохождения через перигелий. Эти величины (обозначим их для простоты ) выгодно отличаются от декартовых координат и компонент скорости тем, что для невозмущённого движения они постоянны:
поэтому уравнения движения планеты, записанные через них, содержат малый параметр в правой части:
Ввиду этого, решать уравнения движения удобно методом последовательных приближений. В первом приближении подставим в правую часть решения невозмущённого уравнения, и найдём:
Для нахождения второго приближения подставляем найденное решение в правую часть (*) и решаем получившиеся уравнения и т. д.
В квантовой механике
правитьТеория возмущений в квантовой механике применяется в том случае, когда гамильтониан системы можно представить в виде
где — невозмущённый гамильтониан (причём решение соответствующего уравнения Шрёдингера известно точно), а — малая добавка (возмущение).
Стационарная теория возмущений
правитьЗадача состоит в нахождении собственных функций гамильтониана (стационарных состояний) и соответствующих уровней энергии. Будем искать решения уравнения Шрёдингера для нашей системы
в виде разложения в ряд
где и — волновые функции и энергетические уровни невозмущённой задачи
а число нумерует энергетические уровни.
Подставляя (***) в (**), с точностью до членов первого порядка по возмущению получим
Домножая слева на , и учитывая, что — (ортонормированные) собственные функции невозмущённого гамильтониана, получаем
где — матричные элементы возмущения.
Вышеизложенная процедура работает, если невозмущённый уровень невырожден. В противном случае для нахождения поправок первого порядка необходимо решать секулярное уравнение.
Аналогичным образом находятся поправки следующих порядков, хотя формулы сильно усложняются.
Нестационарная теория возмущений
правитьЭто пустой раздел, который еще не написан. |
В квантовой теории поля
правитьБольшинство вычислений в квантовой теории поля, в частности, в квантовой электродинамике (КЭД), также делаются в рамках теории возмущений. Невозмущённым решением являются свободные поля, а малым параметром — константа взаимодействия (в электродинамике — постоянная тонкой структуры ). Для представления членов ряда теории возмущений в наглядной форме используются диаграммы Фейнмана.
В наше время многие вычисления в КЭД не ограничиваются первым или вторым порядком теории возмущений. Так, аномальный магнитный момент электрона в настоящее время (2015) вычислен до 5-го порядка по [2].
Тем не менее, существует теорема о том, что ряд теории возмущений в КЭД является не сходящимся, а лишь асимптотическим. Это означает, что, начиная с некоторого (на практике — очень большого) порядка теории возмущений согласие между приближённым и точным решением будет уже не улучшаться, а ухудшаться[3].
Примеры неприменимости теории возмущений
правитьНесмотря на свою кажущуюся универсальность, метод теории возмущений не срабатывает в определённом классе задач. Примерами могут являться инстантонные эффекты в ряде задач квантовой механики и квантовой теории поля. Инстантонные вклады обладают существенными особенностями в точке разложения. Типичный пример инстантонного вклада имеет вид:
- , где — малый параметр.
Эта функция является неаналитичной в точке , а потому не может быть разложена в ряд Маклорена по .
Примечания
править- ↑ В.И. Арнольд Обыкновенные дифференциальные уравнения. — М.: МЦНМО, 2018. — ISBN 978-5-4439-1254-7 — c. 102-103
- ↑ E. de Rafael. Update of the Electron and Muon g-Factors // [https://web.archive.org/web/20220120021627/http://www.arxiv.org/abs/1210.4705 Архивная копия от 20 января 2022 на Wayback Machine arXiv:1210.4705 [hep-ph]]
- ↑ Ахиезер А. И., Берестецкий В. Б. Квантовая электродинамика. — М.: Наука, 1981. — С. 210—212.
Литература
править- Физическая энциклопедия / А.М. Прохоров (гл. ред.). — М.: Большая Российская энциклопедия, 1988—99.
- Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Квантовая механика (нерелятивистская теория). — Издание 4-е. — М.: Наука, 1989. — 768 с. — («Теоретическая физика», том III). — ISBN 5-02-014421-5.
- Мессиа А. Квантовая механика: Пер. с фр. — Т.2, 1979. — 584 с.
- J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results I: Conjectures, WKB Expansions, and Instanton Interactions // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 197—267.
- J. Zinn-Justin and U. D. Jentschura. Multi-Instantons and Exact Results II: Specific Cases, Higher-Order Effects, and Numerical Calculations // Ann. Phys. — 2004. — Vol. 313. — P. 269—325.
- Джакалья Г. Е. О. Методы теории возмущений для нелинейных систем. - М., Наука, 1979. - 320 с.