Тест Люка — Лемера — Ризеля

Тест Люка — Лемера — Ризеля (LLR) — тест простоты для чисел вида $N=k\cdot 2^{n}-1$ с $2^{n}>k$ (подмножество $3\cdot 2^{n}-1$ таких чисел называется числами Сабита). Разработан Хансом Ризелем и базируется на тесте Люка — Лемера, является самым быстрым детерминированным алгоритмом для чисел такого вида.

Алгоритм

Алгоритм очень похож на тест Люка — Лемера, но начинается со значения, зависящего от $k$. Для алгоритма используется последовательность Люка $\{u_{i}\}$, задаваемая для $i>0$ формулой:

$u_{i}=u_{i-1}^{2}-2$.

$N$ является простым в том и только в том случае, когда оно делит $u_{n-2}$.

Поиск стартового значения

• Случай $k=1$. Если $n$ — нечётно, то берётся значение $u_{0}=4$. Если $n\equiv 3{\pmod {4}}$, то берётся $u_{0}=3$. Для простого $n$ — это числа Мерсенна.
• Случай $k=3$. Значение $u_{0}=5778$ можно использовать для всех $n\equiv 0,3{\pmod {4}}$n ≡ 0, 3 (mod 4).
• Если $k\equiv 1,5{\pmod {6}}$ и $N$ не делится на 3, можно использовать значение $u_{0}=(2+{\sqrt {3}})^{k}+(2-{\sqrt {3}})^{k}$.
• В остальных случаях $k$ делится на 3 и выбрать правильное стартовое значение u₀ значительно труднее.

Альтернативный метод поиска стартового значения $u_{0}$ дан в 1994 году. Метод много проще использованного Ризелем для случая, когда 3 делит $k$. В альтернативном способе сначала находится значение $P$, удовлетворяющее следующему равенству символов Якоби:

$\left({\frac {P-2}{N}}\right)=1$ и $\left({\frac {P+2}{N}}\right)=-1$.

На практике нужно проверить лишь несколько значений $P$ (5, 8, 9 или 11 перекрывают 85 %).

Чтобы получить начальное значение $u_{0}$ из $P$ можно использовать последовательность Люка $(P,1)$. При 3 ∤k (k не делится на 3) можно использовать значение $P=4$ и предварительный поиск не нужен. Начальное значение $u_{0}$ тогда равно последовательности Люка $V_{k}(P,1)$ по модулю $N$. Этот процесс занимает очень малое время по сравнению с основным тестом.

Механизм теста

Тест Люка — Лемера — Ризеля является частным случаем проверки простоты порядка группы. В тесте показывается, что некоторое число — простое в связи с тем, что некоторая группа имеет порядок, который был бы равен этому простому числу, для чего выявляется элемент группы, имеющий в точности нужный порядок.

В тестах, подобных тестам Люка, для числа $N$ используется мультипликативная группа квадратичного расширения целых по модулю $N$. Если $N$ — простое, порядок мультипликативной группы равен $N^{2}-1$, и она имеет подгруппу порядка $N+1$, для целей теста ищется порождающее множество этой подгруппы.

Можно найти неитеративное выражение для $u_{i}$. Следуя модели теста Люка — Лемера, положим $u_{i}=a^{2^{i}}+a^{-2^{i}}$ и получим по индукции $u_{i}=u_{i-1}^{2}-2$.

Рассмотрим 2ⁱ-ый элемент последовательности $v(i)=a^{i}+a^{-i}$. Если a удовлетворяет квадратному уравнению, это последовательность Люка, и она подчиняется выражению $v(i)=\alpha v(i-1)+\beta v(i-2)$. В действительности мы ищем $k\times 2^{i}$-ый элемент другой последовательности, но поскольку при децимации (выборка каждого k-го элемента) последовательности Люка получаем также последовательность Люка, мы можем выбирать множитель k путём выбора стартовой точки.

LLR программа

LLR — это программа, которая выполняет LLR-тест. Программа разработана Жаном Пене (Jean Penné). Винсент Пене (Vincent Penné) модифицировал программу, чтобы можно было проверять простоту числа через интернет. Программа может использоваться как для индивидуального поиска, но также включена в некоторые проекты распределенных вычислений, включая Riesel Sieve и PrimeGrid.

См. также

• Числа Ризеля

Литература

• Hans Riesel. Lucasian Criteria for the Primality of N = h•2ⁿ − 1 // Mathematics of Computation. — American Mathematical Society, 1969. — Т. 23, вып. 108. — С. 869—875. — doi:10.2307/2004975. — .
• John Brillhart, Derrick Henry Lehmer, John Selfridge. New Primality Criteria and Factorizations of 2^m ± 1 // Mathematics of Computation. — 1975. — Vol. 29. — Вып. 130. — С. 620—647. — doi:10.1090/S0025-5718-1975-0384673-1.
• Öystein J. Rödseth. A note on primailty tests for N=h•2^n−1 // BIT Numerical Mathematics. — 1994. — Т. 34, вып. 3. — С. 451—454. — doi:10.1007/BF01935653. Архивировано 4 марта 2016 года.
• Hans Riesel. Prime Numbers and Computer Methods for Factorization. — 2nd. — Birkhäuser, 1994. — Т. 126. — С. 107—121. — (Progress in Mathematics). — ISBN 0-8176-3743-5.

Ссылки

• Download Jean Penné's LLR
• Math::Prime::Util::GMP — Модуль на Perl, базовая реализация LLR и теста Прота, а также некоторые методы из статьи Брилхарта, Лемера и Селфриджа.