Открыть главное меню

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году[1].

ОпределенияПравить

Тетрация как степенная башняПравить

Для любого положительного вещественного числа   или   и неотрицательного целого числа  , тетрацию   можно определить рекуррентно:

  •  
  •  

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

 

Или:

 

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

 

Или:

 

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператорПравить

Основная статья: Гипероператор
 
 . Бесконечное возведение в степень для основания  .

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
     
  2. умножение:
     
  3. возведение в степень:
     
  4. тетрация:
     

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

СвойстваПравить

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

  •  , например:  , но  .
  •   не равно ни  , ни  , например:  , т.к.  .

Примечание: однако, верно   или  .

  • Тетрация минус единицы равна минус единице:

 

ТерминологияПравить

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка  » для  .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
  Тетрация
  Итерационные экспоненты
  Вложенные экспоненты (также башни)
  Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях   есть основание, и количество появляющихся   есть высота. В третьем выражении,   есть высота, но все основания разные.

ОбозначенияПравить

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи   Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута   Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея   Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана   Допускает особый случай   в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи   Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6]  
Система записи гипероператорами   Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

 

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи   Система записи   и итерационная система записи   была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута   Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)   Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.

ПримерыПравить

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (т.е.  ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

       
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987  
4 256    
5 3 125    
6 46 656    
7 823 543    
8 16 777 216    
9 387 420 489    
10 10 000 000 000    

Открытые проблемыПравить

  • Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли   целым.
  • Неизвестно, может ли   быть рациональным числом, если   — целое число, большее 3, а   — рациональное, но не целое число (для   ответ отрицателен)[9].
  • Ни для какого целого   неизвестно, является ли положительный корень уравнения   рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

ПримечанияПравить

  1. Goodstein R. L. Transfinite ordinals in recursive number theory (неопр.) // Journal of Symbolic Logic (англ.). — 1947. — Т. 12. — DOI:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. Superexponentiation (англ.) // Mathematics Magazine : magazine. — 1987. — Vol. 60, no. 3. — P. 169—174.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F. Somecritical points of the hyperpower function   (англ.) // International Journal of Mathematical Education : journal. — 1989. — Vol. 20, no. 2. — P. 297—305.
  5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. Ultra power and ultra exponential functions (неопр.) // Integral Transforms and Special Functions (англ.). — 2006. — Т. 17, № 8. — С. 549—558. — DOI:10.1080/10652460500422247.
  7. http://mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
  8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
  9. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.

СсылкиПравить