Открыть главное меню

Тетрация (гипероператор-4) в математике — итерационная функция экспоненты, следующий гипероператор после возведения в степень. Тетрация используется для описания больших чисел.

Термин «тетрация», состоящий из слов «тетра-» (четыре) и «итерация» (повторение), был впервые применён английским математиком Рубеном Гудстейном (англ.) в 1947 году[1].

Содержание

ОпределенияПравить

Тетрация как степенная башняПравить

Для любого положительного вещественного числа   и неотрицательного целого числа  , тетрацию   можно определить рекуррентно:

  •  
  •  

Согласно данному определению, вычисление тетрации, записанной как «степенная башня», возведение в степень начинается с самых дальних уровней к начальному (в данной системе обозначений, с самого наивысшего показателя степени):

 

Или:

 

При этом, так как возведение в степень не является ассоциативной операцией, то вычисление выражения в другом порядке приведёт к другому ответу:

 

Или:

 

Таким образом, степенные башни должны вычисляться сверху-вниз (или справа-налево), то есть, иначе говоря, они обладают правой ассоциативностью.

Тетрация как гипероператорПравить

 
 . Бесконечное возведение в степень для основания  .

Тетрация является четвёртой по счёту гипероперацией:

  1. сложение:
     
  2. умножение:
     
  3. возведение в степень:
     
  4. тетрация:
     

Здесь каждая операция является итерацией предыдущей.

СвойстваПравить

Для тетрации в общем случае неверны следующие характерные для предыдущих операторов свойства:

  •  , например:  , но  .
  •   не равно ни  , ни  , например:  , т.к.  .

Примечание: однако, верно   или  .

ТерминологияПравить

Существует несколько терминов для определения понятия тетрация и за каждым из них стоит своя логика, но некоторые из них не стали общепринятыми в силу тех или иных причин. Ниже приведено несколько подобных примеров.

  • Термин «тетрация», использованный Рубеном Гудстейном в 1947 году в работе «Transfinite Ordinals in Recursive Number Theory» (обобщение рекуррентных представлений в теореме Гудстейна, используемых для высших операторов), имеет доминирующее положение в терминологии. Также этот термин был популяризован в работе Руди Руккера (англ. Rudy Rucker) «Infinity and the Mind».
  • Термин «супервозведение в степень» (англ. superexponentiation) был опубликован Бромером (англ. Bromer) в его работе «Superexponentiation» в 1987 году.[2] Данный термин был ранее использован Эдом Нельсоном (англ. Ed Nelson) в своей книге «Предикативная Арифметика» (англ. «Predicative Arithmetic»)[3].
  • Термин «гиперстепень» (англ. hyperpower)[4] есть естественная комбинация понятий «гипер-» и «степень», который подходящим образом описывает тетрацию. Проблема лежит в понятии самого термина «гипер» относительно иерархии гипероператоров. Когда мы рассматриваем гипероператоры, термин «гипер» относится ко всем рангам, а термин «супер» относится к рангу 4, или тетрации. Таким образом, при данных обстоятельствах, понятие «гиперстепень» может ввести в заблуждение, так как оно относится только к понятию тетрация.
  • Термин «степенная башня» (англ. power tower)[5] иногда используется, в форме «степенная башня порядка  » для  .

Тетрацию также часто путают с другими тесно связанными функциями и выражениями. Ниже приведено несколько связанных терминов:

Форма Терминология
  Тетрация
  Итерационные экспоненты
  Вложенные экспоненты (также башни)
  Бесконечные экспоненты (также башни)

В первых двух выражениях   есть основание, и количество появляющихся   есть высота. В третьем выражении,   есть высота, но все основания разные.

ОбозначенияПравить

Системы записи, в которых тетрация может быть использована (некоторые из них позволяют использование даже более высоких итераций), включают в себя:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи   Использована Мауером (Maurer) [1901] и Гудштейном [1947]; популяризовано в книге Руди Рюкера «Infinity and the Mind».
Стрелочная нотация Кнута   Позволяет удлинение путём добавления добавочных или индексированных стрелочек, является более мощным способом.
Цепочка Конвея   Позволяет удлинение путём прибавления 2 (эквивалентно вышеописанному способу), но также возможно даже более мощный способ записи, если увеличивать цепочку.
Функция Аккермана   Допускает особый случай   в записи в терминах функции Аккермана.
Итерируемая экспоненциальная форма записи   Позволяет простое удлинение до итерационных экспонент начиная со значений отличных от 1.
Обозначения Хусменд (англ. Hooshmand)[6]  
Система записи гипероператорами   Позволяет удлинение путём прибавления 4; это даёт семейство гипероператоров.
Система записи ASCII a^^n Так как запись стрелочка наверх используется идентично обозначению корректурного знак вставки (^), оператор тетрация может быть записан в виде (^^).
Нотация массивов Бауэрса/Бёрда[7] {a, b,2} {a, b,c} = a^^^…^^^b (c стрелок сверхстепени).

Одна из вышеприведённых систем использует систему записи итерированных экспонент; в общем случае это определяется следующим образом:

 

Не так много обозначений существует для итерированных экспонент, но несколько из них показаны ниже:

Имя Форма Описание
Стандартная форма записи   Система записи   и итерационная система записи   была введена Эйлером.
Стрелочная нотация Кнута   Позволяет для суперстепеней и суперэкспоненциальных функций увеличивать число стрелочек.
Гипер-Е нотация E(a)x#n
Система записи Иоанна Галидакиса (англ. Ioannis Galidakis)   Допускает использование больших выражений в основании.[8]
ASCII (добавочный) a^^n@x Основана на взгляде, что итерационная экспонента есть добавочная тетрация.
ASCII (стандартный) exp_a^n(x) Основана на стандартной форме записи.

ПримерыПравить

В нижеприведённой таблице большинство значений слишком огромны, чтобы их записать в экспоненциальном представлении, по этой причине используется система записи в виде итерационных экспонент, чтобы представить их с основанием 10. Значения, содержащие десятичную запятую, являются приблизительными. Например, четвёртая тетрация от 3 (т.е.  ) начинается цифрами 1258, заканчивается цифрами 39387 и имеет 3638334640025 цифр, последовательность A241292 в OEIS.

       
1 1 1 1
2 4 16 65 536
3 27 7 625 597 484 987  
4 256    
5 3 125    
6 46 656    
7 823 543    
8 16 777 216    
9 387 420 489    
10 10 000 000 000    

Открытые проблемыПравить

  • Неизвестно, являются ли nπ или ne целыми числами при каком-либо положительном целом n. Неизвестно даже, является ли   целым.
  • Неизвестно, может ли   быть рациональным числом, если   — целое число, большее 3, а   — рациональное, но не целое число (для   ответ отрицателен)[9].
  • Ни для какого целого   неизвестно, является ли положительный корень уравнения   рациональным, алгебраическим иррациональным или трансцендентным числом.

ПримечанияПравить

  1. Goodstein R. L. (1947). “Transfinite ordinals in recursive number theory”. Journal of Symbolic Logic. 12. DOI:10.2307/2266486.
  2. Bromer N. (1987). “Superexponentiation”. Mathematics Magazine. 60 (3): 169—174.
  3. Nelson E. Predicative Arithmetic. — Princeton University Press, 1986.
  4. MacDonnell J. F. (1989). “Somecritical points of the hyperpower function  . International Journal of Mathematical Education. 20 (2): 297—305. MR: 994348.
  5. Weisstein, Eric W. Power Tower (англ.) на сайте Wolfram MathWorld.
  6. Hooshmand M. H. (2006). “Ultra power and ultra exponential functions”. Integral Transforms and Special Functions. 17 (8): 549—558. DOI:10.1080/10652460500422247.
  7. http://mrob.com/users/chrisb/Linear_Array_Notation.pdf
  8. Galidakis I. On Extending hyper4 and Knuth’s Up-arrow Notation to the Reals Архивная копия от 25 мая 2006 на Wayback Machine.
  9. Marshall, Ash J., and Tan, Yiren, "A rational number of the form aa with a irrational", Mathematical Gazette 96, March 2012, pp. 106-109.

СсылкиПравить