Тождество Якоби

Тождество Якоби — математическое тождество на билинейную операцию на линейном пространстве . Имеет следующий вид:

Названо в честь Карла Густава Якоби.

Понятие тождества Якоби обычно связано с алгебрами Ли.

ПримерыПравить

Следующие операции удовлетворяют тождеству Якоби:

Значение в алгебрах ЛиПравить

Если умножение   антикоммутативно, то тождеству Якоби можно придать несколько другой вид, используя присоединённое представление алгебры Ли:

 

Записав тождество Якоби в форме

 

получим, что оно равносильно условию выполнения правила Лейбница для оператора  :

 

Таким образом,   — это дифференцирование в алгебре Ли. Любое такое дифференцирование называется внутренним.

Тождеству Якоби также можно придать вид

 

Это означает, что оператор   задаёт гомоморфизм данной алгебры Ли в алгебру Ли её дифференцирований.

Градуированное тождество ЯкобиПравить

Пусть   — градуированная алгебра,   — умножение в ней. Говорят, что умножение в   удовлетворяет градуированному тождеству Якоби, если для любых элементов  

 

ПримерыПравить