Гомеоморфизм

Не следует путать с гомоморфизмом.

Гомеоморфи́зм — непрерывное обратимое преобразование пространства. Является центральным понятием топологии.

Гомеоморфность кружки и бублика (полнотория)

Примерами гомеоморфизмов являются подобия геометрических фигур и изометрии метрических пространств. Однако в общем случае они не обязаны сохранять геометрические свойства. Так, гомеоморфизмы могут изменять углы, длины, площади, объёмы и кривизну, растягивать объекты, скручивать, мять и изгибать.

Пространства называются гомеомо́рфными, если между ними существует гомеоморфизм. Все топологические свойства гомеоморфных пространств одинаковы, поэтому с точки зрения топологии такие пространства эквивалентны.

С точки зрения теории категорий гомеоморфизмы являются изоморфизмами в категории топологических пространств. Иными словами, гомеоморфизм устанавливает взаимно однозначное соответствие между топологическими структурами.

Термин «гомеоморфизм» происходит от сочетания двух древнегреческих слов: ὅμοιος — похожий и μορφή — форма.

Определение

Пусть $(X,{\mathcal {T}}_{X})$ и $(Y,{\mathcal {T}}_{Y})$ — два топологических пространства. Функция $f:X\to Y$ называется гомеоморфизмом, если:

• $f$ взаимно однозначна;
• $f$ непрерывна;
• обратная функция $f^{-1}$ непрерывна.

Иными словами, $f$ биективна и для любого подмножества $A\subseteq X$ условие $A\in {\mathcal {T}}_{X}$ выполняется в том и только в том случае, если $f(A)\in {\mathcal {T}}_{Y}$.

Если между пространствами $X$ и $Y$ существует гомеоморфизм, то пишут $X\simeq Y$ или $X\cong Y$ и называют их гомеоморфными или топологически эквивалентными. Гомеоморфизм из пространства в себя называется его автогомеоморфизмом.

Примеры

• На плоскости любые два выпуклых многоугольника гомеоморфны.

• Пространства разной мощности не гомеоморфны. Два пространства, наделённых дискретной топологией, гомеоморфны тогда и только тогда, когда они равномощны.

• Произвольный открытый интервал $(a,b)\subset \mathbb {R}$ гомеоморфен всей вещественной прямой $\mathbb {R}$. Гомеоморфизм $f:(a,b)\to \mathbb {R}$ задаётся, например, формулой

$f(x)=\mathrm {ctg} \left(\pi {\frac {x-a}{b-a}}\right).$

В частности, любые два открытых интервала гомеоморфны.

• Отрезок $[0,\;1]$ не гомеоморфен вещественной прямой $\mathbb {R}$. Это связано с тем, что отрезок компактен, а прямая — нет.

• Если $n\neq m$, то $\mathbb {R} ^{n}\not \cong \mathbb {R} ^{m}$.

• Теорема о гомеоморфизме. Пусть $|a,b|\subset \mathbb {R}$ — интервал на числовой прямой (открытый, полуоткрытый или замкнутый). Пусть $f:|a,b|\to f{\bigl (}|a,b|{\bigr )}\subset \mathbb {R}$ — биекция. Тогда $f$ является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда $f$ строго монотонна и непрерывна на $|a,b|.$

Топологические инварианты и свойства

Характеристика топологических пространств, которая принимает одинаковое значение на гомеоморфных пространствах, называется топологическим инвариантом. Примерами таких характеристик являются: количество компонент связности, размерность, эйлерова характеристика, числа Бетти, фундаментальная группа, группы гомологий и когомологий, гомотопические группы.

Аналогично определяются топологические свойства, то есть свойство пространства называется топологическим, если оно сохраняется при гомеоморфизмах. Примерами таких свойств являются: метризуемость, все виды отделимости, связность и линейная связность, компактность, односвязность, свойство быть топологическим многообразием.

Некоторые топологические инварианты и свойства определены лишь для пространств особого типа. Примером такого инварианта является род поверхности. Кроме того, ориентируемость является свойством многообразия.

Локальный гомеоморфизм

Непрерывное отображение $f:X\to Y$ топологических пространств называется локальным гомеоморфизмом, если у каждой точки пространства $X$ имеется такая окрестность $U$, что образ $f(U)$ открыт в $Y$ и сужение $f|_{U}:U\to f(U)$ является гомеоморфизмом.

Любой гомеоморфизм является локальным гомеоморфизмом, однако обратное неверно. Так, локальный гомеоморфизм является гомеоморфизмом тогда и только тогда, когда он биективен.

Например, отображение $x\to (\cos x,\sin x)$ является локальным гомеоморфизмом из вещественной прямой ${\mathbb {R} }$ в окружность $S^{1}$. Более того, каждое накрытие является локальным гомеоморфизмом. Кроме того, среди тождественных вложений $(0,1)\to {\mathbb {R} }$ и $[0,1]\to {\mathbb {R} }$ первое является локальным гомеоморфизмом, а второе — нет.

Локальные гомеоморфизмы не обязательно сохраняют топологические свойства. Однако если между топологическими пространствами существует локальный гомеоморфизм, то они имеют одинаковые так называемые локальные свойства. Среди них: локальная связность, локальная линейная связность, локальная компактность, локальная односвязность и локальная метризуемость.

См. также

• Словарь терминов общей топологии
• Диффеоморфизм
• Универсальный гомеоморфизм

Литература

• Зорич В. А. Математический анализ. — М. : Наука, 1984. — Т. 2. — С. 41.
• Васильев В. А. Введение в топологию. — М. : ФАЗИС, 1997. — Вып. 3. — xii + 132 с. — (Библиотека студента-математика). — ISBN 5-7036-0036-7.
• Тимофеева Н. В. Дифференциальная геометрия и элементы топологии. — ЯГПУ, 2007.
• Болтянский В. Г., Ефремович В. А. Наглядная топология. — М.: Наука, 1982. — 160 с.
• Виро О. Я., Иванов О. А., Нецветаев Н. Ю., Харламов В. М.. Элементарная топология (рус.). — 2-е изд., исправл.. — М.: МЦНМО, 2012. — ISBN 978-5-94057-894-9.

Ссылки

• Hazewinkel, Michiel, ed. (2001), "Homeomorphism", Encyclopedia of Mathematics, Springer, ISBN 978-1-55608-010-4