Открыть главное меню

Непрерывность по Скотту — свойство функций над частично упорядоченными множествами, выражающееся в сохранении точной верхней грани относительно отношения частичного порядка.

Топология Скотта — структура над полной решёткой или, в более общем случае, над полным частично упорядоченным множеством, в которой открытыми считаются верхние множества, недоступные для прямых соединений, или эквивалентно, топология, в рамках которой функции над частично упорядоченными множествами, сохраняющие точную верхнюю грань, являются непрерывными[1].

Понятия были разработаны в 1970-е годы Даной Скоттом, благодаря им построены первая непротиворечивая модель бестипового λ-исчисления и денотационная семантика[en]. В частности, функции аппликации и каррирования являются непрерывными по Скотту[2].

ОпределенияПравить

Если   и   — частично упорядоченные множества, то функция   между ними является непрерывной по Скотту если для любого направленного подмножества   существует точная верхняя грань его образа  , притом выполнено следующее условие:  .

Топология Скотта на полном частично упорядоченном множестве   вводится определением открытого множества   как обладающего следующими свойствами:

  1. из того, что   и   следует  ;
  2. если  , где   и   направленно, то  [3].

Топология Скотта была впервые введена для полных решёток[4], впоследствии была обобщена до полных частично упорядоченных множеств[3].

Категория, объектами которой являются полные частично упорядоченные множества, а морфизмами — непрерывные по Скотту отображения, обозначается  .

СвойстваПравить

Функции, непрерывные по Скотту, всегда монотонны относительно отношения частичного порядка.

Подмножество частично упорядоченного множество замкнуто в топологии Скотта тогда и только тогда, когда оно является нижним множеством и включает точные верхние грани всех своих подмножеств[5].

Полное частично упорядоченное множество, наделённое топологией Скотта, всегда является T0-пространством, а хаусдорфовым — тогда и только тогда, когда отношение порядка тривиально[5].

Для любой непрерывной по Скотту функции, отображающей полное частично упорядоченное множество на себя, выполнена теорема Клини, согласно которой каждое такое отображение обладает единственной наименьшей неподвижной точкой. Кроме того, отображение  , определённое на множестве непрерывных по Скотту функций   и возвращающее для каждой функции значение её неподвижной точки ( ), само является непрерывным по Скотту[6].

Категория   является декартово замкнутой[7].

АналогиПравить

Близкой по свойствам к топологии Скотта конструкцией является категория  -пространств, разработанная Юрием Ершовым в 1975 году[8] — с её помощью также может быть построена непротиворечивая модель λ-исчисления. В качестве её преимущества отмечается[9], что категория  -пространств является декартово замкнутой, каждый объект в ней является топологическим пространством, топология на произведении является произведением топологий сомножителей, а топология в пространстве функций оказывается топологией поточечной сходимости. Такими удобными свойствами топология Скотта не обладает, в частности, произведение топологий Скотта на полных частично упорядоченных множеств в общем случае топологией Скотта на произведении множеств не является.

ПримечанияПравить

  1. Барендрегт, 1985, Теорема 1.2.6, с. 23.
  2. Барендрегт, 1985, Теоремы 1.2.13, 1.2.14, с. 25.
  3. 1 2 Барендрегт, 1985, с. 24.
  4. Скотт, 1972.
  5. 1 2 Абрамский, 1995.
  6. Барендрегт, 1985, Теорема 1.2.17, с. 25-26.
  7. Барендрегт, 1985, Теорема 1.2.16, с. 25.
  8. Ершов, Юрий. Теория нумераций. — М.: Наука, 1977. — 416 с.
  9. Барендрегт, 1985, с. 22.

ЛитератураПравить