Формула Торричелли (гидродинамика)

Не следует путать с Формула Торричелли (кинематика).

Фо́рмула Торриче́лли связывает скорость истечения идеальной жидкости из малого отверстия в открытом сосуде с высотой жидкости над отверстием.

Формула Торричелли утверждает, что скорость $v$ истечения идеальной жидкости через отверстие в тонкой стенке, находящееся в ёмкости на глубине $h$ от поверхности, такая же, как и у тела, свободно падающего с высоты $h$, то есть

$v={\sqrt {2gh}},$

где $g$ — ускорение свободного падения.

Если же отверстие затоплено, то $h$ равно разности уровней жидкости перед и за отверстием.

Последнее выражение получено в результате приравнивания приобретённой кинетической энергии ${\frac {1}{2}}mv^{2}$ и потерянной потенциальной энергии $mgh$.

Для реальных жидкостей скорость истечения будет тем меньше величины $v={\sqrt {2gh}}$, чем больше вязкость жидкости, а именно $v=\varphi {\sqrt {2gh}}$, где $\varphi <1$ - коэффициент скорости $\varphi ={\frac {1}{1+\xi }}$, где $\xi$ - коэффициент сопротивления при входе в отверстие.

Для реальной жидкости расход через отверстие $Q=\mu \omega {\sqrt {2gh}}$, где $\mu =\alpha \varphi$, $\alpha$ - коэффициент сжатия струи.

Эта формула была получена в словесной форме итальянским учёным Эванджелиста Торричелли, в 1643 году и опубликована в его сочинении Opera geometrica, вышедшем в 1644 году, в разделе De motu aquarum. Позже было показано, что эта формула является следствием закона Бернулли.

Вывод

Закон Бернулли утверждает, что

${\frac {v^{2}}{2}}+gz+{\frac {p}{\rho }}={\text{const}},$

где v — это скорость жидкости, z — высота жидкости над точкой, для которой записывается уравнение Бернулли, p — давление, ρ — плотность жидкости.

Пусть отверстие находится на высоте z = 0. У поверхности жидкости в резервуаре давление p равно атмосферному. Скорость жидкости v в верхней части резервуара можно считать равной нулю, так как уровень поверхности жидкости понижается очень медленно по сравнению со скоростью истечения жидкости через отверстие. На выходе из отверстия z = 0, и p также равно атмосферному давлению. Приравнивая левые части уравнения Бернулли, записанные для поверхности жидкости в резервуаре и для жидкости на выходе из отверстия, получим:

$gz+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}={\frac {v^{2}}{2}}+{\frac {p_{\text{atm}}}{\rho }}$

$\Rightarrow v^{2}=2gz$

$\Rightarrow v={\sqrt {2gz}}.$

z равно высоте h, и таким образом

$v={\sqrt {2gh}}.$

Кроме того, можно прийти к тому же выводу из закона сохранения энергии, так как жидкость идеальная.

Литература

• T. E. Faber. Fluid Dynamics for Physicists (неопр.). — Cambridge University Press, 1995. — ISBN 0-521-42969-2.
• Stanley Middleman, An Introduction to Fluid Dynamics: Principles of Analysis and Design (John Wiley & Sons, 1997) ISBN 978-0-471-18209-2
• Dennis G. Zill, A First Course in Differential Equations (2005)