Точка Брокара

Точка Брокара — одна из двух точек внутри треугольника, возникающих на пересечении отрезков, соединяющих вершины треугольника с соответствующими свободными вершинами треугольников, подобных данному треугольнику и построенных на его сторонах. Считаются замечательными точками треугольника, с их помощью строятся многие объекты геометрии треугольника (в том числе, окружность Брокара, треугольник Брокара, окружность Нейберга).

Точка Брокара
Точка Брокара '"`UNIQ--postMath-00000001-QINU`"' треугольника '"`UNIQ--postMath-00000002-QINU`"', построенная как точка пересечения трёх окружностей
Точка Брокара треугольника , построенная как точка пересечения трёх окружностей
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ X(76)
Связанные точки
Изотомически сопряженная точка Лемуана

Названы по имени французского метеоролога и геометра Анри Брокара, описавшего точки и их построение в 1875 году, однако были известны и ранее, в частности, были построены в одной из работ немецкого математика и архитектора Августа Крелле, изданной в 1816 году.

В энциклопедии центров треугольника первая точка Брокара идентифицируется как .

ОпределениеПравить

В треугольнике   со сторонами  ,  , и  , противолежащими вершинам  ,   и   соответственно, имеется всего одна точка   такая, что отрезки прямых  ,   и   образуют один и тот же угол   со сторонами  ,   и   соответственно:  . Точка   называется первой точкой Брокара треугольника  , а угол   — углом Брокара треугольника.

Для угла Брокара   выполняется следующее тождество:  . Для угла Брокара   выполняется следующее неравенство Йиффа:  , где   — углы искомого треугольника[1].

В треугольнике   имеется также вторая точка Брокара  , такая, что отрезки прямых  ,   и   образуют один и тот же угол со сторонами  ,   и   соответственно:  . Вторая точка Брокара изогонально сопряжена с первой точкой Брокара, то есть угол   равен углу  .

Две точки Брокара тесно связаны друг с другом, различие между ними — в порядке, в котором нумеруются углы треугольника, так, например, первая точка Брокара треугольника   совпадает со второй точкой Брокара треугольника  .

ПостроениеПравить

Наиболее известное построение точек Брокара — на пересечении окружностей, строящихся следующим образом: для   проводится окружность через точки   и  , касающаяся стороны   (центр этой окружности находится в точке, которая лежит на пересечении серединного перпендикуляра к стороне   с прямой, проходящей через   и перпендикулярной  ); аналогичным образом строится окружность через точки   и   и касающуюся стороны  ; третья окружность — через точки   и   и касающаяся стороны  . Эти три окружности имеют общую точку пересечения, являющуюся первой точкой Брокара треугольника  . Вторая точка Брокара строится аналогично — строятся окружности: через   и  , касающаяся  ; через   и  , касающаяся  ; через   и  , касающаяся  .

СвойстваПравить

Однородные трилинейные координаты для первой и второй точек Брокара есть   и   соответственно. Таким образом, их барицентрические координаты соответственно[2]   и  

Точки Брокара лежат на окружности Брокара — окружности, диаметрально построенной на отрезке, соединяющем центр описанной окружности с точкой Лемуана. На ней также лежат вершины первых двух треугольников Брокара. Точки Брокара сопряжены изогонально.

Точка Брокара — одна из 2 точек внутри треугольника, чьи чевианы образуют равные углы с тремя его сторонами, измеренными в трёх его вершинах.

ПримечанияПравить

  1. Michiel Hazewinkel. Encyclopaedia of Mathematics, Supplement III. — Springer Science & Business Media, 2001-12-31. — С. 83. — 564 с. — ISBN 9781402001987.
  2. Scott, J. A. «Some examples of the use of areal coordinates in triangle geometry», Mathematical Gazette 83, November 1999, 472—477.

ЛитератураПравить

  • С. И. Зетель. Новая геометрия треугольника. — М.: Учпедгиз, 1940. — С. 81—89. — 96 с.
  • Akopyan, A. V. & Zaslavsky, A. A. (2007), Geometry of Conics, vol. 26, Mathematical World, American Mathematical Society, с. 48–52, ISBN 978-0-8218-4323-9 
  • Honsberger, Ross (1995), Chapter 10. The Brocard Points, Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry, Washington, D.C.: The Mathematical Association of America 
  • Прасолов В. В. Точки Брокара и изогональное сопряжение (Серия "Библиотека «Математическое просвещение»"). М.:МЦНМО, 2000. 24 с.