Точка Жергонна

(перенаправлено с «Точка Жергона»)

Точка Жергонна — точка пересечения отрезков, соединяющих вершины треугольника с точками касания противоположных сторон вписанной окружности.

Точка Жергонна
Треугольник ΔABC, с вписанной окружностью (синяя), центром вписанной окружности I, красный треугольник построенный по точкам касания Ta,Tb и Tc и точка Жергонна (зелёная, Ge)
Треугольник ΔABC, с вписанной окружностью (синяя), центром вписанной окружности I, красный треугольник построенный по точкам касания Ta,Tb и Tc и точка Жергонна (зелёная, Ge)
Барицентрические координаты
Трилинейные координаты
Код ЭЦТ X(7)
Связанные точки
Изотомически сопряженная точка Нагеля
Дополнительная[es] миттенпункт[en]

Обычно обозначается , , или .

СвойстваПравить

  • Точка Жергонна является точкой Лемуана треугольника, образованного точками касания сторон треугольника со вписанной окружностью.
  • Точка Жергонна изотомически сопряжена точке Нагеля.
  • Точка Жергонна изогонально сопряжена с центром отрицательной гомотетии вписанной и описанной окружности.
  • Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра вписанной окружности равен

 

  • Квадрат расстояния от точки Жергонна до центра описанной окружности равен

 

  • Точка Жергонна лежит внутри открытого ортоцентроидного круга с выколотым центром.[1]
  • Полный набор свойств точки Жергонна можно найти в статье Декова.[2]

Треугольник ЖергоннаПравить

Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) определяется тремя точками касания вписанной окружности на трёх сторонах. Эти вершины обозначим TA, TB и TC. Точка TA лежит напротив вершины A. Этот треугольник Жергонна TATBTC известен также как треугольник касаний треугольника ABC.

СвойстваПравить

  • Три прямые ATA, BTB и CTC пересекаются в одной точке — точке Жергонна и обозначается Ge — X(7).
  • Точка Жергонна треугольника является точкой пересечения симедиан треугольника Жергонна.
  • Пусть точки касания вписанной в данный треугольник окружности соединены отрезками, тогда получится треугольник Жергонна, и в полученном треугольнике проведены высоты. В этом случае прямые, соединяющие основания этих высот, параллельны сторонам исходного треугольника. Следовательно, ортотреугольник треугольника Жергонна и исходный треугольник подобны.
  • Треугольник Жергонна (для треугольника ABC) является подерным треугольником для инцентра в треугольнике ABC.

См. такжеПравить

ИсторияПравить

Точка Жергонна была открыта Жозефом Диасом Жергонном (Joseph Diaz Gergonne, 19.06.1771 – 4.05.1859) в начале XIX века.

ПримечанияПравить

  1. Christopher J. Bradley, Geoff C. Smith. The locations of triangle centers // Forum Geometricorum. — 2006. — Вып. 6. — С. 57-70..
  2. Deko Dekov. Computer-generated Mathematics : The Gergonne Point // Journal of Computer-generated Euclidean Geometry. — 2009. — Т. 1. — С. 1–14.. Архивировано 5 ноября 2010 года.