Точка Штейнера

Точка Штейнера — особая точка, связанная с планиметрией треугольника[1]. Это одна из замечательных точек треугольника[2] и она обозначается как точка X(99) в энциклопедии центров треугольника Кларка Кимберлинга (Clark Kimberling).

Точка Штейнера
Изображение
Названо в честь Якоб Штейнер
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

ИсторияПравить

Якоб Штейнер (Jakob Steiner) (1796—1863), швейцарский математик, описал эту точку в 1826 году. Этой точке было дано имя Штейнера Жозефом Нойбергом (Joseph Neuberg) в 1886 году[2][3].

ОпределениеПравить

 
Прямая, проходящая через  , параллельна  , прямая, проходящая через  , параллельна  , и прямая, проходящая через  , параллельна   пересекаются в точке Штейнера.

Точка Штейнера определяется следующим образом. (Мы используем не тот способ, каким эту точку определял сам Штейнер.[2])

Пусть дан любой треугольник  . Пусть   — его центр описанной окружности и   — точка пересечения симедиан. Окружность, построенная на   как на диаметре, представляет собой окружность Брокара треугольника  . Прямая, проходящая через   перпендикулярно к прямой  , пересекает окружность Брокара в другой точке  . Прямая, проходящая через   перпендикулярно к прямой  , пересекает окружность Брокара в другой точке  . Прямая, проходящая через   перпендикулярно к прямой  , пересекает окружность Брокара в другой точке   (треугольник   есть треугольник Брокара для треугольника  .) Пусть   есть прямая, проходящая через   параллельно прямой  ,   есть прямая, проходящая через   параллельно прямой  , и   есть прямая, проходящая через   параллельно прямой  . Тогда все три прямых  ,   и   пересекаются в одной точке. Точка их пересечения и есть точка Штейнера треугольника  .

Трилинейные координатыПравить

Трилинейные координаты точки Штейнера равны

 .

СвойстваПравить

  • Описанный вокруг треугольника   эллипс, который также называется эллипсом Штейнера, является эллипсом наименьшей площади, который проходит через вершины  ,   и  . Точка Штейнера треугольника   лежит на описанном вокруг треугольника   эллипсе Штейнера.
  • Хонсбергер (Honsberger) установил следующее свойство точки Штейнера: Точка Штейнера треугольника является центром масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине массы, равной величине внешнего угла при этой вершине.[4]
  • Точка Штейнера не обладает этим свойством. Центр масс системы, полученной подвешиванием в каждой вершине треугольника   массы, равной величине внешнего угла в этой вершине, не является точкой Штейнера. Этот центр массы называется центроидом кривизны Штейнера (Steiner curvature centroid) треугольника   и имеет трилинейные координаты[5]:
 .

Этот треугольный центр обозначается как X(1115) в энциклопедии центров треугольника.

  • Прямая Симсона точки Штейнера треугольника   параллельна прямой  , где   — центр описанной окружности и   — точка пересечения трёх симедиан (точка Лемуана) треугольника  .

Точка Тарри (Tarry)Править

 
Прямая, проходящая через   перпендикулярно к  , прямая, проходящая через   перпендикулярно к  , и прямая, проходящая через   перпендикулярно к  , пересекаются в точке Тарри (Tarry)

Точка Тарри треугольника тесно связана с точкой Штейнера треугольника. Пусть   — любой данный треугольник. Точка на описанной окружности треугольника  , диаметрально противоположная к точке Штейнера треугольника, называется точкой Тарри треугольника  . Точка Тарри представляет собой центр треугольника и он обозначен как центр X(98) в энциклопедии центров треугольника. Трилинейные координаты точки Тарри равны

 ,

где   является углом Брокара треугольника  .

ПримечанияПравить

  1. Paul E. Black Steiner point. Dictionary of Algorithms and Data Structures. U.S. National Institute of Standards and Technology.. Дата обращения: 17 мая 2012.
  2. 1 2 3 Kimberling, Clark Steiner point. Дата обращения: 17 мая 2012.
  3. J. Neuberg. Sur le point de Steiner (неопр.) // Journal de mathématiques spéciales. — 1886. — С. 29.
  4. Honsberger, Ross. Episodes in nineteenth and twentieth century Euclidean geometry (англ.). — The Mathematical Association of America, 1965. — P. 119—124.
  5. Eric W., Weisstein Steiner Curvature Centroid. MathWorld—A Wolfram Web Resource.. Дата обращения: 17 мая 2012.

См. такжеПравить