Точная верхняя и нижняя границы

Точная верхняя граница множества $X$, точная верхняя грань множества $X$, мажоранта множества $X$, супремум множества $X$ — обобщение понятия максимума множества $X$. Обычно обозначается как $\sup X$ (читается супремум икс).

Точная нижняя граница множества $X$, точная нижняя грань множества $X$, миноранта множества $X$, инфинум множества $X$ — обобщение понятия минимума множества $X$. Обычно обозначаются как $\inf X$ (читается инфимум икс).

Используемые определения

Мажоранта (или верхняя грань (граница)) числового множества $X$ — такое число $a$, для которого верно следующее: $\forall x\in X\Rightarrow x\leqslant a$.

Миноранта (или нижняя грань (граница)) числового множества $X$ — такое число $b$, для которого верно следующее: $\forall x\in X\Rightarrow x\geqslant b$.

Подобным образом вводятся аналогичные понятия и для подмножеств нечисловых частично упорядоченных множеств. Эти понятия будут использованы ниже.

Определения

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей, супре́мумом (лат. supremum — самый высокий)) подмножества $X$ частично упорядоченного множества (или класса) $M$ называется такой наименьший элемент множества $M$, который равен или больше всех элементов множества $X$. Другими словами, супремум — наименьшая из верхних границ (верхняя грань). Обозначается $\sup X$.

Более формально:

$S_{X}=\{y\in M\mid \forall x\in X\!:x\leqslant y\}$ — множество верхних граней $X$, то есть, таких элементов множества $M$, которые равны или больше элементов множества $X$;

$s=\sup(X)\iff S_{X}\ni s\;|\;\forall y\in S_{X}\!:s\leqslant y$.

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей, и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий)) подмножества $X$ частично упорядоченного множества (или класса) $M$ называется такой наибольший элемент множества $M$, который равен или меньше всех элементов множества $X$. Другими словами, инфимум — наибольшая из нижних границ (нижняя грань). Обозначается $\inf X$.

Замечания

• В определении супремума множества $X$ ($\sup X$) не говорится о том, принадлежит ли элемент, равный $\sup X$, множеству $X$.
• В определении инфинума множества $X$ ($\inf X$) не говорится о том, принадлежит ли элемент, равный $\inf X$, множеству $X$.
• Если элемент $s$, $=\sup X$, $\in X$, то говорят, что $s$ является максимумом множества $X$ и пишут $s=\max X$.
• Если элемент $i$, $=\inf X$, $\in X$, то говорят, что $i$ является минимумом множества $X$ и пишут $i=\min X$.
• Приведённые определения ссылаются сами на себя — являются непредикативными. Ведь в каждом из них определяемое понятие является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования подобных определений, в рамках своих теорий либо не допускают, либо различными методами устраняют элементы «порочного круга».
• При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу». При этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества. А оценка снизу — верхней границей. Выражение «upper bound» может переводится с английского языка на русский и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением «lower bound».

Примеры

• Пусть $X$ — множество, элементами которого являются такие рациональные числа, которые больше числа 5. Например, числа 5.1, 5.01, 5.001 принадлежат множеству $X$, так как больше числа 5. Но число 5 не принадлежит множеству $X$, так как не больше числа 5 (а равно числу 5). У множества $X$ не существует минимума. Ведь какое бы число $x$, большее числа 5, не взять, между числом 5 и числом $x$ всегда найдётся число, равное среднему арифметическому чисел 5 и $x$: ${\frac {\left(5+x\right)}{2}}$. Но у множества $X$ существует инфимум. Инфинум множества $X$ равен числу 5: $\inf {X}=5$. Инфимум не является минимумом. Ведь число 5 не принадлежит множеству $X$.
• Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
• Для множества $S=\left\{{\frac {1}{k}}\mid k\in \mathbb {N} \right\}=\left\{1,\;{\frac {1}{2}},\;{\frac {1}{3}},\;\ldots \right\}$

$\sup S=1$; $\inf S=0$.

• Множество положительных рациональных чисел $\mathbb {Q} _{+}=\{x\in \mathbb {Q} \mid x>0\}$ не имеет точной верхней грани в $\mathbb {Q}$, точная нижняя грань $\inf \mathbb {Q} _{+}=0$.
• Множество $X=\{x\in \mathbb {Q} \mid x^{2}<2\}$ рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в $\mathbb {Q}$, но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то

$\sup X={\sqrt {2}}$ и $\inf X=-{\sqrt {2}}$.

Теорема о гранях

Формулировка

Непустое подмножество действительных чисел $A$, ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное $B$, ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют ${\bar {a}}$ и ${\underline {b}}$ такие, что:

${\bar {a}}=\sup A:{\begin{cases}\forall a\in A\Rightarrow a\leqslant {\bar {a}},\\\forall {\bar {a}}'<{\bar {a}}\,\,\exists a\in A:a>{\bar {a}}';\end{cases}}\ \ \ \ (1)$

${\underline {b}}=\inf B:{\begin{cases}\forall b\in B\Rightarrow b\geqslant {\underline {b}},\\\forall {\underline {b}}'>{\underline {b}}\,\,\exists b\in B:b<{\underline {b}}';\end{cases}}\ \ \ \ (2)$

Доказательство

Для непустого множества $X$, ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа $x\in X$ в виде бесконечных десятичных дробей: $x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{m}\dots }}$, где $x_{0}\in \mathbb {N} \cup \{0\};\;\forall i\in \mathbb {N} ,\,x_{i}$ — цифра.

Множество $X_{0}=\{x_{0}\mid \forall {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ непусто и ограниченно сверху по определению $X$. Так как $X_{0}\subset \mathbb {N} \cup \{0\}$ и ограничено сверху, существует конечное число элементов $X_{0}$, больших некоторого ${\tilde {x}}_{0}\in X_{0}$ (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность $X_{0}$ сверху). Среди таких выберем $a_{0}=\max X_{0}$.

Множество $X_{1}=\{{\overline {a_{0},x_{1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\in X\}$ непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует $a_{1}=\max X_{1}$.

Допустим, что для некоторого номера $m$ построено десятичное число ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}$ такое, что $\exists x\in X:x={\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}\ldots }}$, причём $\forall x\in X:x={\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}\ldots }}\Rightarrow {\overline {x_{0},x_{1}\ldots x_{m}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}$ (десятичная запись всякого элемента исходного множества до $m$-го знака после запятой не превосходит ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}}}$, причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с $a_{0},a_{1}\dots a_{m}$).

Обозначим $X_{m+1}=\{{\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}}}\mid \forall {\overline {a_{0},\ldots a_{m+1}\ldots }}\in X\}$ (множество из элементов $X$, начинающихся в десятичной записи с $a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}$). По определению числа ${\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{m}}}$, множество $X_{m+1}$ непусто. Оно конечно, поэтому существует число ${\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{m}a_{m+1}}}=\max X_{m+1}$, обладающее теми же свойствами, что и $a_{m}$.

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого $n$ оказывается определённой цифра $a_{n}$ и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

$a\equiv {\overline {a_{0},a_{1}\ldots a_{n}\ldots }}\in \mathbb {R}$.

Возьмем произвольное число $x\in X,x={\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}\dots }}$. По построению числа $a$, для любого номера $n$ выполняется ${\overline {x_{0},x_{1}\dots x_{n}}}\leqslant {\overline {a_{0},a_{1}\dots a_{n}}}$ и поэтому $x\leqslant a$. Поскольку рассуждение выполнено $\forall x\in X$, то $a=\sup X$, причём вторая строка определения оказывается выполненной из построения $a$.

Выберем $a'<a$. Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи $a'$ меньше соответствующей в записи $a$. Рассмотрим полученное $X_{i}$ по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто, $\exists x\in X_{i}\subset X:x>a'$.

Доказательство, использующее принцип полноты

Для непустого множества $X$, ограниченного сверху, рассмотрим ${\overline {X}}$ — непустое множество верхних граней $X$. По определению, ${\overline {x}}\geqslant x,\forall x\in X,\forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$ (множество $X$ лежит левее ${\overline {X}}$). Согласно непрерывности, $\exists c\in \mathbb {R} :\forall x\in X\leqslant c\leqslant \forall {\overline {x}}\in {\overline {X}}$. По определению ${\overline {X}}$, в любом случае $c\in {\overline {X}}$ (иначе ${\overline {X}}$ — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как $c$ является наименьшим элементом ${\overline {X}}$, то $c=\sup X$.

Проверим вторую строку определения. Выберем $c'<c$. Пусть $\not \exists x\in X:x>c'$, тогда $\forall x\in X:x\leqslant c'$, а это значит, что $c'\in {\overline {X}}$, но $c'<c$, а $c$ — наименьший элемент ${\overline {X}}$. Противоречие, значит $\exists x\in X:x>c'$. Вообще говоря, рассуждение верно $\forall c'$.

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

Свойства

• По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества $\mathbb {R}$ существует $\sup$.
• По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества $\mathbb {R}$ существует $\inf$.
• Вещественное число $s$ является $\sup X$ тогда и только тогда, когда:

$s$ есть верхняя грань $X$, то есть для всех элементов $x\in X$, $x\leqslant s$;

для любого $\varepsilon >0$ найдётся $x\in X$, такой, что $x+\varepsilon >s$ (то есть к $s$ можно сколь угодно «близко подобраться» из множества $X$, а при $s\in X$ очевидно, что $s+\varepsilon >s$).

• Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщения

• Существенный супремум

Литература

• Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
• Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
• У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.