Точная верхняя и нижняя границы

(перенаправлено с «Точная нижняя грань»)

Точная верхняя граница (верхняя грань) и точная нижняя граница (нижняя грань) — обобщение понятий максимума и минимума множества соответственно.

Точная верхняя и нижняя грани множества обычно обозначаются (читается супремум икс) и (читается инфимум икс) соответственно.

Используемые определенияПравить

Мажоранта, или верхняя грань (граница), числового множества   — число   такое, что  .

Миноранта, или нижняя грань (граница), числового множества   — число   такое, что  .

Подобным образом вводятся аналогичные понятия для подмножества нечислового частично упорядоченного множества. Эти понятия будут использованы ниже.

ОпределенияПравить

Точной верхней гранью (наименьшей верхней границей), или супре́мумом (лат. supremum — самый высокий), подмножества   частично упорядоченного множества (или класса)   называется наименьший элемент  , который равен или больше всех элементов множества  . Другими словами, супремум — это наименьшая из всех верхних граней. Обозначается  .

Более формально:

  — множество верхних граней  , то есть элементов  , равных или больших всех элементов  ;
 

Точной нижней гранью (наибольшей нижней границей), или и́нфимумом (лат. infimum — самый низкий), подмножества   частично упорядоченного множества (или класса)   называется наибольший элемент  , который равен или меньше всех элементов множества  . Другими словами, инфимум — это наибольшая из всех нижних граней. Обозначается  .

ЗамечанияПравить

  • Эти определения ничего не говорят о том, принадлежит ли   и   множеству   или нет:
в случае   говорят, что   является максимумом  , то есть  ;
в случае   говорят, что   является минимумом  , то есть  .
  • Приведенные определения являются непредикативными (ссылающимися на самих себя), поскольку определяемое понятие в каждом из них является элементом множества, через которое оно определяется. Сторонники конструктивизма в математике выступают против использования таких определений, не допуская либо различными методами устраняя элементы «порочного круга» в рамках своих теорий.
  • При оценке неизвестных констант используют термины «оценка сверху» и «оценка снизу», при этом оценка сверху является нижней границей некоторого известного множества, а оценка снизу верхней границей. C английского языка термин "upper bound" может переводится и как «оценка сверху», и как «верхняя граница», что иногда приводит к путанице. Аналогична ситуация и с выражением "low bound".

ПримерыПравить

  • На множестве всех рациональных чисел, больших пяти, не существует минимума, однако существует инфимум.   такого множества равен пяти. Инфимум не является минимумом, так как пять не принадлежит этому множеству. Если же определить множество всех натуральных чисел, больших пяти, то у такого множества есть минимум, и он равен шести. Вообще говоря, у любого непустого подмножества множества натуральных чисел существует минимум.
  • Для множества  
 ;  .
  • Множество положительных рациональных чисел   не имеет точной верхней грани в  , точная нижняя грань  .
  • Множество   рациональных чисел, квадрат которых меньше двух, не имеет точных верхней и нижней граней в  , но если его рассматривать как подмножество множества действительных чисел, то
  и  .

Теорема о граняхПравить

ФормулировкаПравить

Непустое подмножество действительных чисел  , ограниченное сверху, имеет точную верхнюю грань; аналогичное  , ограниченное снизу, — точную нижнюю грань. То есть существуют   и   такие, что:

 
 

ДоказательствоПравить

Для непустого множества  , ограниченного сверху. Для множества, ограниченного снизу, рассуждения проводятся аналогично.

Представим все числа   в виде бесконечных десятичных дробей:  , где   — цифра.

Множество   непусто и ограниченно сверху по определению  . Так как   и ограничено сверху, существует конечное число элементов  , больших некоторого   (иначе бы из принципа индукции следовала неограниченность   сверху). Среди таких выберем  .

Множество   непусто и состоит не более чем из десяти элементов, поэтому существует  .

Допустим, что для некоторого номера   построено десятичное число   такое, что  , причём   (десятичная запись всякого элемента исходного множества до  -го знака после запятой не превосходит  , причём существует хотя бы 1 элемент, десятичная запись которого начинается с  ).

Обозначим   (множество из элементов  , начинающихся в десятичной записи с  ). По определению числа  , множество   непусто. Оно конечно, поэтому существует число  , обладающее теми же свойствами, что и  .

Таким образом, согласно принципу индукции, для любого   оказывается определенной цифра   и поэтому однозначно определяется бесконечная десятичная дробь

 .

Возьмем произвольное число  . По построению числа  , для любого номера   выполняется   и поэтому  . Поскольку рассуждение выполнено  , то  , причём вторая строка определения оказывается выполненой из построения  .

Выберем  . Нетрудно видеть, что хотя бы одна цифра в десятичной записи   меньше соответствующей в записи  . Рассмотрим полученое   по первому номеру такой цифры. Поскольку оно не пусто,  .

Доказательство, использующее принцип полнотыПравить

Для непустого множества  , ограниченного сверху, рассмотрим   — непустое множество верхних граней  . По определению,   (множество   лежит левее  ). Согласно непрерывности,  . По определению  , в любом случае   (иначе   — не множество верхних граней, а лишь какое-то его подмножество). Так как   является наименьшим элементом  , то  .

Проверим вторую строку определения. Выберем  . Пусть  , тогда  , а это значит, что  , но  , а   — наименьший элемент  . Противоречие, значит  . Вообще говоря, рассуждение верно  .

Для множества, ограниченного снизу, рассуждения аналогичны.

СвойстваПравить

  • По теореме о гранях для любого ограниченного сверху подмножества   существует  .
  • По теореме о гранях для любого ограниченного снизу подмножества   существует  .
  • Вещественное число   является   тогда и только тогда, когда:
  есть верхняя грань  , то есть для всех элементов  ,  ;
для любого   найдётся  , такой, что   (то есть к   можно сколь угодно «близко подобраться» из множества  , а при   очевидно, что  ).
  • Утверждение, аналогичное последнему, верно и для точной нижней грани.

Вариации и обобщенияПравить

ЛитератураПравить

  • Богданов Ю. С., Кастрица О. А., Сыроид Ю. Б. Математический анализ: Учебное пособие для вузов. — М.: ЮНИТИ-ДАНА, 2003.- С. 11-14. ISBN 5-238-00500-8
  • Богданов Ю. С. Лекции по математическому анализу. Ч. 1. — Мн.: Издательство БГУ, 1974. — С. 3—8.
  • У. Рудин. Основы математического анализа. — М.: Мир, 1976. — 320 с.