Открыть главное меню
Trapezoid.svg

Трапе́ция (от др.-греч. τραπέζιον — «столик» от τράπεζα — «стол») — выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны. Часто в определение трапеции добавляют условие, что две другие стороны должны быть не параллельны[1]. Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции, а две другие — боковыми сторонами. Средняя линия — отрезок, соединяющий середины боковых сторон.

Содержание

Варианты определенияПравить

Существует и другое определение трапеции.

Трапеция — это выпуклый четырёхугольник, у которого две стороны параллельны[2][3]. Согласно этому определению, параллелограмм и прямоугольник — частные случаи трапеции. Однако при использовании такого определения большинство признаков и свойств равнобедренной трапеции перестают быть верными (так как параллелограмм становится её частным случаем). Приведённые в разделе Общие свойства формулы верны для обоих определений трапеции.

Связанные определенияПравить

Элементы трапецииПравить

 
Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой
  • Параллельные противоположные стороны называются основаниями трапеции.
  • Две другие стороны называются боковыми сторонами.
  • Отрезок, соединяющий середины боковых сторон, называется средней линией трапеции.

Виды трапецийПравить

  • Трапеция, у которой боковые стороны равны, называется равнобедренной трапецией (реже равнобокой[4] или равнобочной[5] трапецией).
  • Трапеция, имеющая прямые углы при боковой стороне, называется прямоугольной.

Общие свойстваПравить

Основной источник: [6]
  • Средняя линия трапеции параллельна основаниям и равна их полусумме.
  • Отрезок, соединяющий середины диагоналей, равен половине разности оснований и лежит на средней линии.
  • (Обобщённая теорема Фалеса). Параллельные прямые, пересекающие стороны угла, отсекают от сторон угла пропорциональные отрезки.
  • В трапецию можно вписать окружность, если сумма длин оснований трапеции равна сумме длин её боковых сторон.
  • Отрезок, параллельный основаниям и проходящий через точку пересечения диагоналей, делится последней пополам и равен   среднему гармоническому длин оснований трапеции (формула Буракова).
  • Точка пересечения диагоналей трапеции, точка пересечения продолжений её боковых сторон и середины оснований лежат на одной прямой.
  • Если сумма углов при любом основании трапеции равна 90°, то отрезок, соединяющий середины оснований, равен их полуразности.
  • Треугольники, лежащие на основаниях при пересечении диагоналей, подобные.
  • Треугольники, лежащие на боковых сторонах, равновеликие.
  • Если отношение оснований равно  , то отношение площадей треугольников, лежащих на основаниях, равно  .
  • Высота трапеции определяется формулой:
 
где   — большее основание,   — меньшее основание,   и   — боковые стороны.
  • Диагонали трапеции   и   связаны со сторонами соотношением:
 
Их можно выразить в явном виде:
 
 
Если, наоборот, известны боковые стороны и диагонали, то основания выражаются формулами:
 
 
а при известных основаниях и диагоналях боковые стороны следующие:
 
 
Если же известна высота  , то
 
 

Свойства и признаки равнобедренной трапецииПравить

Трапеция является равнобедренной тогда и только тогда, когда выполнено любое из следующих эквивалентных условий:

  • прямая, которая проходит через середины оснований, перпендикулярна основаниям (то есть является осью симметрии трапеции);
  • высота, опущенная из вершины на большее основание, делит его на два отрезка, один из которых равен полусумме оснований, другой — полуразности оснований;
  • углы при любом основании равны;
  • сумма противоположных углов равна 180°;
  • длины диагоналей равны;
  • вокруг этой трапеции можно описать окружность;
  • вершинами этой трапеции также являются вершины некоторого антипараллелограмма.

Кроме того

  • если в равнобедренной трапеции диагонали перпендикулярны, то высота равна полусумме оснований.

Вписанная и описанная окружностьПравить

  • Если сумма оснований трапеции равна сумме боковых сторон, то в неё можно вписать окружность. Средняя линия в этом случае равна сумме боковых сторон, делённой на 2 (так как средняя линия трапеции равна полусумме оснований).
  • В трапеции её боковая сторона видна из центра вписанной окружности под углом 90°.
  • Если трапеция равнобедренная, то около неё можно описать окружность.
  • Радиус описанной окружности равнобедренной трапеции:[источник не указан 1412 дней]
 
где   — боковая сторона,   — бо́льшее основание,   — меньшее основание,   — диагонали равнобедренной трапеции.
  • Если  , то в равнобедренную трапецию можно вписать окружность радиуса
 
  • Если в трапецию вписана окружность с радиусом  , и она делит боковую сторону точкой касания на два отрезка —   и   — то  .

ПлощадьПравить

Здесь приведены формулы, свойственные именно трапеции. См. также формулы для площади произвольных четырёхугольников.
  • В случае, если   и   — основания и   — высота, формула площади:
 
  • В случае, если   — средняя линия и   — высота, формула площади:
 

Примечание: Приведённые выше две формулы эквивалентны, так как полусумма оснований равняется средней линии трапеции:

 
  • Формула, где   — основания,   и   — боковые стороны трапеции:
 
или
 
  • Средняя линия   разбивает фигуру на две трапеции, площади которых соотносятся как[7]
 
  • Площадь равнобедренной трапеции с радиусом вписанной окружности, равным  , и углом при основании  :
 
  • Площадь равнобедренной трапеции:
 
где   — боковая сторона,   — бо́льшее основание,   — меньшее основание,   — угол между бо́льшим основанием и боковой стороной[8].
  • Площадь равнобедренной трапеции через её стороны
 

ПримечанияПравить

  1. Математический энциклопедический словарь. — М.: Советская энциклопедия, 1988. — С. 587.
  2. Вся элементарная математика
  3. Wolfram MathWorld
  4. Коллектив авторов. Современный справочник школьника. 5-11 классы. Все предметы. — Litres, 2015-09-03. — С. 82. — 482 с. — ISBN 9785457410022.
  5. М. И. Сканави. Элементарная математика. — 2013. — С. 437. — 611 с. — ISBN 9785458254489.
  6. Четырёхугольники.
  7. Сканави М.И. 202. Площадь трапеции // Элементарная математика. 2-е изд., перераб. и доп., М.: 1974г. - 592с.
  8. Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. Справочник по математике для инженеров и учащихся втузов 1986. С. 184