Треугольник точек касания вневписанных окружностей

Треугольник точек касания вневписанных окружностей треугольника образован соединением точек, в которых вневписанные окружности касаются треугольника. Для краткости в статье будем называть этот треугольник треугольником внекасаний.

Треугольник внекасаний (, с красными сторонами) и точка Нагеля (синяя, N) треугольника (, чёрные стороны). Оранжевые окружности — это вневписанные окружности треугольника.

КоординатыПравить

Вершины треугольника внекасаний задаются трилинейными координатами:

 
 
 

Или, эквивалентно, если a,b,c являются длинами сторон, противоположных углам A, B, C соответственно,

 
 
 

Связанные фигурыПравить

Разделителями периметра[en] треугольника являются отрезки, соединяющие вершины исходного треугольника с соответствующими вершинами треугольника внекасаний. Они делят периметр пополам (это и есть определение разделителя периметра) и пересекаются в точке Нагеля, которая на рисунке выделена синим цветом и помечена буквой «N».

Эллипс Мандара касается сторон исходного треугольника в трёх вершинах треугольника внекасаний[1].

ПлощадьПравить

Площадь треугольника внекасаний,  , задаётся формулой:

 ,

где  ,  ,   являются площадью, радиусом вписанной окружности и полупериметром исходного треугольника, а  ,  ,   являются длинами сторон исходного треугольника.

Это та же площадь, что и у треугольника касаний[2].

ПримечанияПравить

  1. Juhász, 2012, с. 37–46.
  2. Weisstein, Eric W. "Extouch Triangle." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/ExtouchTriangle.html

ЛитератураПравить