Треугольное число

Números triangulares.png

Треугольное число — один из классов фигурных многоугольных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника. Как видно из рисунка, -е треугольное число  — это сумма первых натуральных чисел:

и т. д. Общая формула для -го по порядку треугольного числа:

;

Последовательность треугольных чисел бесконечна. Она начинается так:

1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105,120 … (последовательность A000217 в OEIS)

Часть источников начинает последовательность треугольных чисел с нуля, которому соответствует номер

Треугольные числа играют значительную роль в комбинаторике и теории чисел[⇨], они тесно связаны с многими другими классами целых чисел[⇨].

СвойстваПравить

Рекуррентная формула для n-го треугольного числа[1]:

 .
 
Разложение треугольного числа с нечётным номером.
 
Разложение треугольного числа с чётным номером

Следствия ( )[2][3]:

 .
 .
  (см. рисунок слева).
 . (см. рисунок справа).

Ещё две формулы легко доказать по индукции[4]:

 
 

Все треугольные числа, кроме 1 и 3, составные. Никакое треугольное число не может в десятичной записи заканчиваться цифрой[2]   Чётность элемента последовательности меняется с периодом 4: нечётное, нечётное, чётное, чётное.

Третья сбоку линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел[5].

Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по одной из формул[6]:

 

или:

 

Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится (см. Телескопический ряд):

 
 
Восемь треугольных чисел и ещё одна точка образуют полный квадрат

Критерий треугольности числаПравить

Натуральное число   является треугольным тогда и только тогда, когда число   является полным квадратом.

В самом деле, если   треугольное, то   Обратно, число   нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа   то   тоже нечётно:   и мы получаем равенство:   откуда:   — треугольное число .

Следствие: номер числа   в последовательности треугольных чисел определяется формулой:

 

ПрименениеПравить

Треугольные числа возникают во многих практических ситуациях.

Как биномиальный коэффициент   число   определяет число сочетаний для выбора двух элементов из   возможных.

 
Связи между объектами

Если   объектов попарно соединить отрезками, то число отрезков (число рёбер полного графа) будет выражаться треугольным числом:

 

Это видно из того, что каждый из   объектов соединяется с остальными   объектами, так что получается   соединений, однако при таком учёте каждое соединение засчитывается дважды (с двух разных концов), так что результат надо разделить пополам.

Аналогично максимальное количество рукопожатий для   человек или количество шахматных партий в турнире с   участниками равны   Из тех же соображений можно заключить, что число диагоналей в выпуклом многоугольнике с   сторонами (n>3) равно:

 
 
Разбиения круга секущими

Максимальное количество   кусков, которое можно получить с помощью   прямых разрезов пиццы (см. рисунок справа), равно   (см. Центральные многоугольные числа, последовательность A000124 в OEIS).

 
Тетраксис в христианской мистике {Якоб Бёме, XVII век)

Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным[7]. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел[8]:  

Четвёртое треугольное число 10 (тетраксис) пифагорейцы считали священным, определяющим гармонию вселенной — в частности, соотношения музыкальных интервалов, смену времён года и движение планет[9].

Связь с другими классами чиселПравить

Любое  -угольное число   может быть выражено через треугольные[10]:

 

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть[7]:

  (формула Теона Смирнского[11].

Примеры:

6 + 10 = 16   10 + 15 = 25  

Обобщением этой формулы является формула Никомаха — для любого   разность между  -угольным и  -угольным числами с одним и тем же номером есть треугольное число[12]:

 

Предыдущая формула получается при  

Существует единственная пифагорова тройка, состоящая из треугольных чисел[13]:

 

Среди треугольных чисел существуют числа-палиндромы, то есть числа, которые одинаковы при чтении их слева направо и справа налево (последовательность A003098 в OEIS):

 

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[14][15]:   (последовательность A001110 в OEIS).

Треугольное число может также быть одновременно

  • пятиугольным (последовательность A014979 в OEIS):
1, 210, 40755, 7906276, 1533776805, 297544793910, 57722156241751, 11197800766105800, 2172315626468283465…;
  • шестиугольным (все треугольные числа с нечётным номером);
  • семиугольным (последовательность A046194 в OEIS):
1, 21, 11781, 203841, 113123361, 1957283461, 1086210502741, 18793835590881, 10429793134197921, 180458407386358101…

и т. д. Неизвестно, существуют ли числа, одновременно треугольные, квадратные и пятиугольные; проверка на компьютере чисел, меньших   не обнаружила ни одного подобного числа, однако не доказано, что таковых не существует[16].

Четыре треугольных числа   являются одновременно числами Мерсенна (последовательность A076046 в OEIS) (см. уравнение Рамануджана — Нагеля).

Пять чисел   (и только они) одновременно треугольные и тетраэдральные (последовательность A027568 в OEIS).

Четыре числа   одновременно треугольные и квадратные пирамидальные (последовательность A039596 в OEIS).

Никакое натуральное число, кроме 1, не может быть одновременно[17][18]:

  • треугольным и кубическим;
  • треугольным и биквадратным[19];
  • треугольным и пятой степенью целого числа[17];

Каждое чётное совершенное число является треугольным[20].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом[21].

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов первых   натуральных чисел[22]. Следствие: разность квадратов двух последовательных треугольных чисел дает кубическое число. Например,  

Производящая функцияПравить

Степенной ряд, коэффициенты которого — треугольные числа, сходится при  :

 

Выражение слева является производящей функцией для последовательности треугольных чисел[23].

Вариации и обобщенияПравить

Вариацией треугольных чисел являются центрированные треугольные числа.

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном  -мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа[24]:

 

Их частным случаем выступают:

  •   — треугольные числа.
  •   — тетраэдральные числа.
  •   — пентатопные числа.

Ещё одним обобщением треугольных чисел являются числа Стирлинга второго рода[25]:

 

ПримечанияПравить

  1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 16.
  2. 1 2 Villemin.
  3. Деза Е., 2011, с. 24—25, 29.
  4. Деза Е., 2011, с. 66.
  5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 188.
  6. Деза Е., Деза М., 2016, с. 71.
  7. 1 2 Шамшурин А. В. Волшебная сила треугольных чисел. Старт в науке. Дата обращения: 7 апреля 2021.
  8. Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
  9. Dimitra Karamanides (2005), Pythagoras: pioneering mathematician and musical theorist of Ancient Greece, The Rosen Publishing Group, с. 65, ISBN 9781404205000, <https://books.google.com/books?id=DQpSA4CEnIwC> 
  10. Деза Е., Деза М., 2016, с. 15.
  11. Деза Е., 2011, с. 23.
  12. За страницами учебника математики, 1996, с. 50.
  13. Деза Е., Деза М., 2016, с. 195.
  14. There exist triangular numbers that are also square (англ.). cut-the-knot. Дата обращения: 7 апреля 2021.
  15. Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.
  16. Деза Е., Деза М., 2016, с. 34—37.
  17. 1 2 The Penguin Dictionary of Curious and Interesting Numbers (англ.). Дата обращения: 9 марта 2021.
  18. Деза Е., Деза М., 2016, с. 77—78.
  19. Dickson, 2005, p. 8.
  20. Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7.
  21. Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
  22. Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.
  23. Деза Е., Деза М., 2016, с. 17—19.
  24. Деза Е., Деза М., 2016, с. 126—134.
  25. Деза Е., Деза М., 2016, с. 214—215.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить