Открыть главное меню

Треугольное число

Números triangulares.png

Треугольное число — один из типов фигурных чисел, определяемый как число точек, которые могут быть расставлены в форме правильного треугольника (см. рисунок). Очевидно, с чисто арифметической точки зрения, n-е треугольное число — это сумма n первых натуральных чисел.

Последовательность треугольных чисел для начинается так:

0, 1, 3, 6, 10, 15, 21, 28, 36, 45, 55, 66, 78, 91, 105, 120 … (последовательность A000217 в OEIS)

СвойстваПравить

  • Формулы для n-го треугольного числа:
    •  ;
    •  ;
    •   — биномиальный коэффициент.
Например, 1953 — это 62-е треугольное число:  
  • Рекуррентная формула для n-го треугольного числа:
     .
 
Связи между объектами
  • Если   точек попарно соединить отрезками, то число отрезков будет выражаться треугольным числом:
 
К примеру, если у нас имеется 4 объекта, то мы сможем построить только   одиночных связей между объектами.
  • Сумма конечного ряда треугольных чисел вычисляется по формуле:
 .
  • Ряд из чисел, обратных треугольным, сходится:
 
  • Известное в мистике «число зверя» (666) является 36-м треугольным. Оно является наименьшим треугольным числом, которое представимо в виде суммы квадратов треугольных чисел[1]:  
  • Третья линия (диагональ) треугольника Паскаля состоит из треугольных чисел.

Связь с другими классами чиселПравить

Сумма двух последовательных треугольных чисел — это квадратное число (полный квадрат), то есть

 .

Примеры:

6 + 10 = 16   10 + 15 = 25  

Каждое чётное совершенное число является треугольным[2].

Любое натуральное число представимо в виде суммы не более трёх треугольных чисел. Утверждение впервые сформулировал в 1638 году Пьер Ферма в письме к Мерсенну без доказательства, впервые доказано в 1796 году Гауссом[3].

Натуральное число   является треугольным тогда и только тогда, когда число   является полным квадратом. В самом деле, если   треугольное, то   Обратно, число   нечётно, и если оно равно квадрату некоторого числа   то   тоже нечётно:   и мы получаем равенство:   откуда:   — треугольное число.

Квадрат n-го треугольного числа является суммой кубов n первых натуральных чисел[4].

Существует бесконечно много треугольных чисел, которые одновременно являются квадратными («квадратные треугольные числа»)[5]:   (последовательность A001110 в OEIS).

Вариации и обобщенияПравить

Понятие плоского треугольного числа можно обобщить на три и более измерений. Пространственным их аналогом служат тетраэдральные числа, а в произвольном  -мерном пространстве можно определить гипертетраэдральные числа:

 

Их частным случаем выступают:

  •   — треугольные числа.
  •   — тетраэдральные числа.
  •   — пентатопные числа.

ПримечанияПравить

  1. Деза Е., Деза М., 2016, с. 225.
  2. Voight, John. Perfect numbers: an elementary introduction // University of California, Berkley. — 1998. — С. 7.
  3. Деза Е., Деза М., 2016, с. 10.
  4. Деза Е., Деза М., 2016, с. 79.
  5. Деза Е., Деза М., 2016, с. 25—33.

ЛитератураПравить

  • Виленкин Н. Я., Шибасов Л. П. Шибасова 3. Ф. За страницами учебника математики: Арифметика. Алгебра. Геометрия. — М.: Просвещение, 1996. — С. 30. — 320 с. — ISBN 5-09-006575-6.
  • Глейзер Г. И. История математики в школе. — М.: Просвещение, 1964. — 376 с.
  • Деза Е., Деза М. Фигурные числа. — М.: МЦНМО, 2016. — 349 с. — ISBN 978-5-4439-2400-7.

СсылкиПравить