Тривиальный узел (или незаузлённый узел, англ. unknot) — геометрический узел, объемлюще-изотопный стандартному вложению окружности в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла.

Тривиальный узел
Обозначения
Александера–Бриггса[англ.] 01
Многочлены
Александера
Джонса
 
Кауфмана
 
Конвея
HOMFLY
 
Инварианты
Инвариант Арфа[англ.] 0
Число нитей 1
Число мостов 0
Число пересечений 0
Род 0
Число отрезков 3
Число туннелей[англ.] 0
Число развязывания 0
Свойства
Простой, торический, расслоенный, полностью амфихиральный, срезанный
Логотип Викисклада Медиафайлы на Викискладе

Под окружностью здесь подразумевается подмножество евклидовой плоскости, а под стандартным вложением окружности в трёхмерную сферу – вложение , где или любое аналогичное отображение, отправляющее плоскость в одну из координатных плоскостей трёхмерного пространства.[1]

Эквивалентно можно определить тривиальный узел как геометрический узел, который продолжается до гладкого вложения двумерного диска в трёхмерную сферу, а также объемлюще-изотопический класс такого геометрического узла. Иными словами, любой геометрический узел, для которого существует гладко вложенный в трёхмерную сферу двумерный диск, границей которого является этот геометрический узел, называется тривиальным узлом и все тривиальные узлы являются объемлюще-изотопными.[2]

Узел, не являющийся тривиальным, принято называть нетривиальным узлом.[3]

Тривиальный узел играет существенную роль в различных задачах теории узлов и обладает рядом уникальных свойств.

Свойства

править

Комбинаторные свойства

править
  • Тривиальный узел – единственный узел, который допускает диаграмму без перекрёстков, иными словами число перекрёстков тривиального узла равняется нулю. Стоит отметить, что иногда[4] наличие диаграммы без перекрёстков принимается за определение тривиального узла.

Алгебраические свойства

править
и это единственный для каждого перечисленного выше инварианта узел, на котором достигается соответствующее значение.
  • Все классические полиномиальные инварианты узлов, такие как многочлен Александера, многочлен Джонса, многочлен Кауффмана и многочлен HOMFLY-PT, принимают на тривиальном узле значение  . Но в отличие от мер сложности вопрос о единственности тривиального узла как принимающего единичное значение не так однозначен. Так, существует бесконечное количество нетривиальных узлов, значение многочлена Александера на которых равно   (например, любое дублирование Уайтхеда удовлетворяет этому условию), а существование нетривиального узла с равным единице многочленом Джонса или многочленом HOMFLY-PT до сих пор является открытым вопросом.

Простота тривиального узла

править

Эквивалентная переформулировка теоремы о простоте тривиального узла вносит ясность в устройство моноида узлов, а именно, утверждает, что ни один нетривиальный элемент этого моноида не имеет обратного. Этот элементарный, но нетривиальный результат имеет несколько независимых доказательств.

Топологические свойства

править

Геометрические свойства

править

Алгоритмическое распознавание тривиального узла

править
 
Более сложная для визуального распознавания диаграмма тривиального узла, известная как диаграмма Тистлетвэйта
 
Две диаграммы тривиального узла, тривиальность которых легко распознать визуально

Классический вопрос алгоритмической теории узлов — задача распознавания тривиального узла. Задача состоит в том, чтобы создать алгоритм, который по поданной на вход диаграмме узла выводил бы ответ, является ли данный узел тривиальным. Существует ряд алгоритмов, решающих эту задачу, однако основной вопрос на данный момент остаётся открытым, а именно, существует ли полиномиальный алгоритм распознавания тривиального узла. Стоит отметить, что диаграммы тривиального узла могут быть очень сложными как к визуальному, так и к машинному распознаванию. Классическим примером «трудной» диаграммы тривиального узла является так называемый «Гордиев узел Хакена».

Числа развязывания

править

С тривиальным узлом связан ряд инвариантов, обобщённо называемых числа развязывания. Исторически первым подобным инвариантом было классическое число развязывания узла, то есть минимальное количество применений преобразования переключения перекрёстков, необходимое для превращения данного узла в тривиальный. Несколько позже, с развитием теории преобразований узлов, появились соответствующие инварианты и для других преобразований, например, число H(2)-развязываний или число Δ-развязываний.[7][8]

Примечания

править

Литература

править
  • Мантуров В. О. Теория узлов. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2005. — 512 с. — ISBN 5-93972-404-3.