Тригонометрические тождества

Тригонометрические тождества — математические выражения для тригонометрических функций, которые выполняются при всех значениях аргумента (из общей области определения). В данной статье приведены только тождества с основными тригонометрическими функциями, но есть тождества и для редко используемых тригонометрических функций.

Пример шести тригонометрических функций угла θ = 0.7 радиан, построенный в единичной окружности. Величины, отмеченные 1, Sec(θ) и Csc(θ) равны длинам сегментов луча, исходящего из центра окружности. Величины Sin(θ), Tan(θ) и 1 равны высотам над осью x, величины Cos(θ), 1 и Cot(θ) равны длинам сегментов оси x от центра окружности.

Основные тригонометрические формулы

№	Формула	Допустимые значения аргумента
1.1	$\operatorname {sin} ^{2}\alpha +\operatorname {cos} ^{2}\alpha =1$	$\forall \alpha$ (то есть любое значение α)
1.2	$\operatorname {tg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\cos ^{2}\alpha }}=\operatorname {sec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq {\frac {\pi }{2}}+\pi n$ при $n\in \mathbb {Z}$
1.3	$\operatorname {ctg} ^{2}\alpha +1={\frac {1}{\sin ^{2}\alpha }}=\operatorname {cosec} ^{2}\alpha$	$\alpha \neq \pi n,\quad n\in \mathbb {Z}$
1.4	$\operatorname {tg} \alpha \cdot \operatorname {ctg} \alpha =1$	$\alpha \neq {\frac {\pi n}{2}},\quad n\in \mathbb {Z}$

• Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
• Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на $\cos ^{2}\alpha$ и $\sin ^{2}\alpha$ соответственно.
• Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

Формулы сложения и вычитания аргументов

Иллюстрация форм сложения и вычитания синусов и косинусов

Иллюстрация форм сложения тангенсов.

№	Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1	$\sin \left(\alpha \pm \beta \right)=\sin \alpha \cos \beta \pm \cos \alpha \sin \beta$
2.2	$\cos \left(\alpha \pm \beta \right)=\cos \alpha \cos \beta \mp \sin \alpha \sin \beta$
2.3	$\operatorname {tg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta }{1\mp \operatorname {tg} \alpha \operatorname {tg} \beta }}$
2.4	$\operatorname {ctg} \left(\alpha \pm \beta \right)={\frac {\operatorname {ctg} \alpha \operatorname {ctg} \beta \mp 1}{\operatorname {ctg} \beta \pm \operatorname {ctg} \alpha }}$

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2), а формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

 Формула (2.3) верна при $\alpha$, $\beta$, $\alpha \pm \beta$, отличных от ${\pi \over 2}+\pi n$, $n\in \mathbb {Z}$.

Вывод формул для $\sin(\alpha +\beta ),\ \cos(\alpha +\beta )$

Рис 1. К доказательству вывода формулы

На Рис. 1 изображены четыре прямоугольных треугольника: ABC, ABD, AOC, BOD.

Принято, что $AB=1,\angle DAC=\alpha ,\angle DAB=\beta ;$

По построению: $\angle ABC=90-\alpha -\beta ;\angle ABD=90-\beta ;$

Тогда: $\angle OBD=\angle ABD-\angle ABO=\alpha ;$

Из треугольника ABD:

$BD=\sin \beta ;AD=\cos \beta ;$

Из треугольника BOD:

$OB={\frac {BD}{\cos \alpha }}={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }};$

$OD=OB\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}$

Так как O лежит на отрезке AD:

$AO=AD-OD=\cos \beta -{\frac {\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}={\frac {\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta }{\cos \alpha }}$

Тогда сразу:

$\cos(\alpha +\beta )=AC=AO\cdot \cos \alpha =\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta$

Из треугольника AOC:

$OC=AO\cdot \sin \alpha ={\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}$

Следовательно:

$\sin(\alpha +\beta )=BC=OB+OC={\frac {\sin \beta }{\cos \alpha }}+{\frac {\sin \alpha \cdot (\cos \alpha \cdot \cos \beta -\sin \alpha \cdot \sin \beta )}{\cos \alpha }}=$

$\sin \alpha \cdot \cos \beta +{\frac {\sin \beta \cdot (1-\sin ^{2}\alpha )}{\cos \alpha }}=\sin \alpha \cdot \cos \beta +\cos \alpha \cdot \sin \beta$

Что и требовалось доказать.

Формулы двойного угла и половинного угла

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять α:

№	Формулы двойного угла
3.1	$\operatorname {sin} 2\alpha =2{\sin \alpha }\ {\cos \alpha }={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
3.2	$\operatorname {cos} 2\alpha ={\cos ^{2}\alpha }-{\sin ^{2}\alpha }$ $\operatorname {cos} 2\alpha =2{\cos ^{2}\alpha }-1=1-2{\sin ^{2}\alpha }$
3.3	$\operatorname {tg} 2\alpha ={\frac {2\operatorname {tg} \alpha }{1-\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
3.4	$\operatorname {ctg} 2\alpha ={\frac {\operatorname {ctg} ^{2}\alpha -1}{2\operatorname {ctg} \alpha }}$

Примечания

для формулы $\operatorname {tg} 2\alpha$:

• $\alpha \not ={\frac {\pi }{4}}+{\frac {\pi }{2}}n,n\in \mathbb {Z} ,$
• $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} ,$

для формулы $\operatorname {ctg} 2\alpha$: $\alpha \not ={\frac {\pi }{2}}+\pi n,n\in \mathbb {Z} .$

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла, в частности тангенса половинного угла:

№	Формулы половинного угла
3.5	$\sin {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 2}}$
3.6	$\cos {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 2}}$
3.7	$\operatorname {tg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1-\cos \alpha \over 1+\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1+\cos \alpha }={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }={-1\pm {\sqrt {1+\operatorname {tg} ^{2}\alpha }} \over \operatorname {tg} \alpha }$
3.8	$\operatorname {ctg} {\alpha \over 2}=\pm {\sqrt {1+\cos \alpha \over 1-\cos \alpha }}={\sin \alpha \over 1-\cos \alpha }={1+\cos \alpha \over \sin \alpha }=\operatorname {ctg} {\alpha }\pm {\sqrt {1+\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$

В формулах половинного угла знаки перед радикалами следует брать в зависимости от знака тригонометрической функции, стоящей в левой части равенства.

 В формуле $\operatorname {tg} {\alpha \over 2}={1-\cos \alpha \over \sin \alpha }$ и аналогичной для котангенса, левая и правая части имеют разные области определения и, следовательно, их неосторожное использование может приводить к приобретению корней!

Формулы тройного угла

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4), если β приравнять 2α:

№	Формулы тройного угла
4.1	$\sin 3\alpha =3\sin \alpha -4\sin ^{3}\alpha$
4.2	$\cos 3\alpha =4\cos ^{3}\alpha -3\cos \alpha$
4.3	$\operatorname {tg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {tg} \alpha -\operatorname {tg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {tg} ^{2}\alpha }}$
4.4	$\operatorname {ctg} 3\alpha ={\frac {3\operatorname {ctg} \alpha -\operatorname {ctg} ^{3}\alpha }{1-3\operatorname {ctg} ^{2}\alpha }}$

Примечания

для формулы $\operatorname {tg} 3\alpha$: $\alpha \not ={\frac {\pi }{6}}+{\frac {\pi }{3}}n,n\in \mathbb {Z}$
для формулы $\operatorname {ctg} 3\alpha$: $\alpha \not ={\frac {\pi }{3}}n+\pi n,n\in \mathbb {Z}$;

Формулы понижения степени

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

№	Синус		№	Косинус
5.1	$\sin ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 2\alpha }{2}}$		5.5	$\cos ^{2}\alpha ={\frac {1+\cos 2\alpha }{2}}$
5.2	$\sin ^{3}\alpha ={\frac {3\sin \alpha -\sin 3\alpha }{4}}$		5.6	$\cos ^{3}\alpha ={\frac {3\cos \alpha +\cos 3\alpha }{4}}$
5.3	$\sin ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$		5.7	$\cos ^{4}\alpha ={\frac {3+4\cos 2\alpha +\cos 4\alpha }{8}}$
5.4	$\sin ^{5}\alpha ={\frac {10\sin \alpha -5\sin 3\alpha +\sin 5\alpha }{16}}$		5.8	$\cos ^{5}\alpha ={\frac {10\cos \alpha +5\cos 3\alpha +\cos 5\alpha }{16}}$

№	Произведение
5.9	$\sin ^{2}\alpha \cos ^{2}\alpha ={\frac {1-\cos 4\alpha }{8}}$
5.10	$\sin ^{3}\alpha \cos ^{3}\alpha ={\frac {3\sin 2\alpha -\sin 6\alpha }{32}}$
5.11	$\sin ^{4}\alpha \cos ^{4}\alpha ={\frac {3-4\cos 4\alpha +\cos 8\alpha }{128}}$
5.12	$\sin ^{5}\alpha \cos ^{5}\alpha ={\frac {10\sin 2\alpha -5\sin 6\alpha +\sin 10\alpha }{512}}$

Формулы преобразования произведения функций

№	Формулы преобразования произведений функций
6.1	$\sin \alpha \sin \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )-\cos(\alpha +\beta )}{2}}$
6.2	$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha -\beta )+\sin(\alpha +\beta )}{2}}$
6.3	$\cos \alpha \cos \beta ={\frac {\cos(\alpha -\beta )+\cos(\alpha +\beta )}{2}}$

Вывод формул преобразования произведений функций

Формулы преобразования произведения функций выводятся из формул сложения аргументов (2.1) и (2.2). Например, из формулы (2.1) следует:

$\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )=\sin \alpha \cos \beta +\cos \alpha \sin \beta +\sin \alpha \cos \beta -\cos \alpha \sin \beta =$

$=2\sin \alpha \cos \beta$.

То есть:

$\sin \alpha \cos \beta ={\frac {\sin(\alpha +\beta )+\sin(\alpha -\beta )}{2}}$    — формула (6.2).

Остальные формулы преобразования произведений функций выводятся аналогично.

Формулы преобразования суммы функций

№	Формулы преобразования суммы функций
7.1	$\sin \alpha \pm \sin \beta =2\sin {\frac {\alpha \pm \beta }{2}}\cos {\frac {\alpha \mp \beta }{2}}$
7.2	$\cos \alpha +\cos \beta =2\cos {\frac {\alpha +\beta }{2}}\cos {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.3	$\cos \alpha -\cos \beta =-2\sin {\frac {\alpha +\beta }{2}}\sin {\frac {\alpha -\beta }{2}}$
7.4	$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$
7.5	$\operatorname {ctg} \alpha \pm \operatorname {ctg} \beta ={\frac {\sin(\beta \pm \alpha )}{\sin \alpha \sin \beta }}$

Вывод формул преобразования суммы функций

Формулы преобразования суммы функций выводятся из формул преобразования произведений функций (6.1)—(6.3) с помощью подстановки:

$\alpha ={\frac {\alpha '+\beta '}{2}}$

и

$\beta ={\frac {\alpha '-\beta '}{2}}$.

Подставим эти выражения в формулу (6.1):

$\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}={\frac {\cos \beta '-\cos \alpha '}{2}}$, то есть

$\cos \alpha '-\cos \beta '=-2\sin {\frac {\alpha '+\beta '}{2}}\sin {\frac {\alpha '-\beta '}{2}}$    — опуская штрихи, получаем формулу (7.3).

Остальные формулы преобразования суммы синуса и косинуса выводятся аналогично. Из формулы (2.3) следует:

$\operatorname {tg} \alpha +\operatorname {tg} \beta =\operatorname {tg} (\alpha +\beta )(1-\operatorname {tg} (\alpha )\operatorname {tg} (\beta ))=$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos \alpha \cos \beta -\sin \alpha \sin \beta }{\cos \alpha \cos \beta }}$

$={\frac {\sin(\alpha +\beta )}{\cos(\alpha +\beta )}}\cdot {\frac {\cos(\alpha +\beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}$, то есть

$\operatorname {tg} \alpha \pm \operatorname {tg} \beta ={\frac {\sin(\alpha \pm \beta )}{\cos \alpha \cos \beta }}\qquad \qquad$   — формула (7.4).

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при $\alpha +\beta +\gamma =360^{\circ }\colon$

$\sin \alpha +\sin \beta +\sin \gamma =4\sin {\frac {\alpha }{2}}\sin {\frac {\beta }{2}}\sin {\frac {\gamma }{2}}$ (7.6).

Решение простых тригонометрических уравнений

• $\sin x=a.$

Если $|a|>1$ — вещественных решений нет.

Если $|a|\leqslant 1$ — решением является число вида $x=(-1)^{n}\arcsin a+\pi n,$ где $n\in \mathbb {Z} .$

• $\cos x=a.$

Если $|a|>1$ — вещественных решений нет.

Если $|a|\leqslant 1$ — решением является число вида $x=\pm \arccos a+2\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$

• $\operatorname {tg} \,x=a.$

Решением является число вида $x={\text{arctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$

• $\operatorname {ctg} \,x=a.$

Решением является число вида $x={\text{arcctg}}~a+\pi n,~n\in \mathbb {Z} .$

Универсальная тригонометрическая подстановка

Основная статья: Универсальная тригонометрическая подстановка

Нижеприведённые тождества имеют смысл, только когда тангенс имеет смысл (то есть при $\alpha \neq \pi +2\pi n$).

$\sin \alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\operatorname {tg} \,\alpha ={\frac {2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\operatorname {ctg} \,\alpha ={\frac {1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{1-\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\csc \alpha ={\frac {1+\operatorname {tg} ^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2\,{\operatorname {tg} }\,{\frac {\alpha }{2}}}}$

Аналогичные соотношения имеют место и для котангенса ($\alpha \neq 2\pi n$):

$\sin \alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}}$	$\cos \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}}$
${\text{tg}}~\alpha ={\frac {2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	${\text{ctg}}~\alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$
$\sec \alpha ={\frac {{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}+1}{{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}-1}}$	$\csc \alpha ={\frac {1+{\text{ctg}}^{2}{\frac {\alpha }{2}}}{2~{\text{ctg}}~{\frac {\alpha }{2}}}}$

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

$a\sin x+b\cos x={\sqrt {a^{2}+b^{2}}}\sin(x+\varphi ),$

где $a,b\in \mathbb {R} ,$ $a$ и $b$ не равны нулю одновременно, $\varphi$ — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

$\left\{{\begin{matrix}\sin \varphi ={\dfrac {b}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}},\\\cos \varphi ={\dfrac {a}{\sqrt {a^{2}+b^{2}}}}.\end{matrix}}\right.$

Примечание. Из вышеприведённой системы при $a\neq 0$ следует, что $\mathrm {tg} \,\varphi \,=\,{\tfrac {b}{a}}$, однако нельзя всегда считать, что $\varphi ={\text{arctg}}~{\tfrac {b}{a}}$, так как арктангенс определяет угол от $-\pi /2$ до $\pi /2$, а угол может быть, вообще говоря, любым. Нужно учитывать знаки $a$ и $b,$ чтобы определить, к какой четверти принадлежит угол $\varphi$, в результате чего добавлять или убавлять $\pi$ при необходимости.

Представление тригонометрических функций в комплексной форме

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа $x$ выполнено следующее равенство:

$e^{ix}=\cos x+i\sin x,$

где $e$ — основание натурального логарифма,

$i$ — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции $\sin x$ и $\cos x$ следующим образом:

$\sin x={\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{2i}},\qquad \qquad \cos x={\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{2}}.$

Отсюда следует, что

$\operatorname {tg} \,x=-i{\frac {e^{ix}-e^{-ix}}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {ctg} \,x=i{\frac {e^{ix}+e^{-ix}}{e^{ix}-e^{-ix}}},$

$\sec x={\frac {2}{e^{ix}+e^{-ix}}},\qquad \qquad \operatorname {cosec} \,x={\frac {2i}{e^{ix}-e^{-ix}}}.$

Все эти тождества аналитически обобщаются на любые комплексные значения.

См. также

• Гиперболические функции
• Интегральный синус
• Интегральный косинус
• Комплексные числа
• Многочлены Чебышёва
• Обратные тригонометрические функции
• Редко используемые тригонометрические функции
• Решение треугольников
• Синус-верзус
• Сферическая тригонометрия
• Треугольник § Тригонометрические тождества только с углами
• Тригонометрические функции
• Тригонометрические функции от матрицы
• Тригонометрический ряд Фурье
• Функция Гудермана
• Четырёхзначные математические таблицы (Таблицы Брадиса)
• Эллиптические функции