Открыть главное меню

Основные тригонометрические формулыПравить

Формула Допустимые значения аргумента
1.1    
1.2    
1.3    
1.4    
  • Формула (1.1) является следствием теоремы Пифагора.
  • Формулы (1.2) и (1.3) получаются из формулы (1.1) делением на   и   соответственно.
  • Формула (1.4) следует из определений тангенса и котангенса.

ЗамечаниеПравить

Есть и другие тригонометрические функции.

Формулы сложения и вычитания аргументовПравить

Формулы сложения и вычитания аргументов
2.1  
2.2  
2.3  
2.4  

Формула (2.3) получается при делении (2.1) на (2.2). А формула (2.4) — при делении (2.2) на (2.1).

Формулы двойного угла и половинного углаПравить

Формулы двойного угла выводятся из формул (2.1)(2.4) , если принять, что угол β равен углу α:

Формулы двойного угла
3.1  
3.2  
 
3.3  
3.4  

Из формулы двойного угла для косинуса (3.2) выводятся формулы половинного угла:

Формулы половинного угла
3.5  
3.6  
3.7  

Формулы тройного углаПравить

Формулы тройного угла выводятся из формул (2.1)—(2.4) , если принять, что угол β равен углу 2α:

Формулы тройного угла
4.1  
4.2  
4.3  
4.4  

Формулы понижения степениПравить

Формулы понижения степени выводятся из формул (3.2):

Синус Косинус
5.1   5.5  
5.2   5.6  
5.3   5.7  
5.4   5.8  
Произведение
5.9  
5.10  
5.11  
5.12  

Формулы преобразования произведения функцийПравить

Формулы преобразования произведений функций
6.1  
6.2  
6.3  

Формулы преобразования суммы функцийПравить

Формулы преобразования суммы функций
7.1  
7.2  
7.3  
7.4  
7.5  

Преобразование суммы синусов 3-x разных углов в произведение при :  :

  (7.6)

Решение простых тригонометрических уравненийПравить

  •  
Если   — вещественных решений нет.
Если   — решением является число вида  
  •  
Если   — вещественных решений нет.
Если   — решением является число вида  
  •  
Решением является число вида  
  •  
Решением является число вида  

Универсальная тригонометрическая подстановкаПравить

Тождества имеют смысл, только когда существуют обе части (то есть при  ).

   
   
   

Вспомогательный аргумент (формулы сложения гармонических колебаний)Править

Сумма двух гармонических колебаний с одинаковой частотой будет вновь гармоническим колебанием. В частности,

 

где  ,   и   не равны нулю одновременно,   — это угол, называемый вспомогательным аргументом, который может быть найден из системы уравнений:

 

Примечание. Из вышеприведённой системы следует, что  , однако нельзя всегда считать, что  . Нужно учитывать знаки   и   для определения, к какой четверти принадлежит угол  .

Полезные тождестваПравить

В приведённых ниже формулах числа   и   целые.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 


 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Следующая формула приводится в двух вариантах для угла   заданного в градусах и радианах:

 

 

Представление тригонометрических функций в комплексной формеПравить

Основная статья: Формула Эйлера

Формула Эйлера утверждает, что для любого вещественного числа   выполнено следующее равенство:

 

где   — основание натурального логарифма,

  — мнимая единица.

При помощи формулы Эйлера можно определить функции   и   следующим образом :

 

Отсюда следует, что

 
 

См. такжеПравить