Тригонометрический многочлен

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

,

где аргумент и коэффициенты , а .

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

,

где .

Эта функция бесконечно дифференцируема и -периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.

ЛитератураПравить