Открыть главное меню

Тригонометрический многочлен — функция вещественного аргумента, которая является конечной тригонометрической суммой, то есть функция, представленная в виде:

,

где аргумент и коэффициенты , а .

В комплексной форме согласно формуле Эйлера такой многочлен записывается следующим образом:

,

где .

Эта функция бесконечно дифференцируема и -периодична — непрерывна на единичном круге.

Тригонометрические многочлены являются важнейшим средством приближения функций, используются для интерполяции и решения дифференциальных уравнений.

Согласно теореме Вейерштрасса для любой непрерывной на круге функции существует последовательность тригонометрических многочленов, которая к ней равномерно сходится.

Тригонометрический многочлен является частичной суммой ряда Фурье. Согласно теореме Фейера последовательность арифметических средних частичных сумм ряда Фурье равномерно сходится к непрерывной на круге функции. Это даёт простой конструктивный метод построения равномерно сходящейся последовательности тригонометрических многочленов.

ЛитератураПравить

  • Математический энциклопедический словарь. — М.: «Сов. энциклопедия », 1988. — С. 847.
  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.