Открыть главное меню

Тригонометрический ряд Фурье — представление произвольной функции с периодом в виде ряда

(1)

или используя комплексную запись, в виде ряда:

.

Содержание

Скалярное произведение и ортогональностьПравить

Пусть  ,   — две функции пространства  . Определим их скалярное произведение

 

Условие ортогональности

 

где   — символ Кронекера. Таким образом, скалярное произведение ортогональных функций равно квадрату нормы функции при   или нулю в противном случае.

Следующее наблюдение является ключевым в теории рядов Фурье: функции вида  ,   попарно ортогональны относительно этого скалярного произведения, то есть при всех целых неотрицательных  :

 

и при всех целых неотрицательных  ,  

 .

Ещё одно важное свойство состоит в том, что тригонометрическая система функций является базисом в пространстве  . Иными словами, если некоторая функция из этого пространства ортогональна всем функциям вида  , то она тождественно равна нулю (если точнее, то равна нулю почти всюду).

Классическое определениеПравить

Тригонометрическим рядом Фурье функции   называют функциональный ряд вида

 
(1)

где

 
 
 

Числа  ,   и   ( ) называются коэффициентами Фурье функции  . Формулы для них можно объяснить следующим образом. Предположим, мы хотим представить функцию   в виде ряда (1), и нам надо определить неизвестные коэффициенты  ,   и  . Если умножить правую часть (1) на   и проинтегрировать по промежутку  , благодаря ортогональности в правой части все слагаемые обратятся в нуль, кроме одного. Из полученного равенства легко выражается коэффициент  . Аналогично для  

Ряд (1) сходится к функции   в пространстве  . Иными словами, если обозначить через   частичные суммы ряда (1):

 ,

то их среднеквадратичное отклонение от функции   будет стремиться к нулю:

 .

Несмотря на среднеквадратичную сходимость, ряд Фурье функции, вообще говоря, не обязан сходиться к ней поточечно(см.ниже).

Комплексная записьПравить

Часто при работе с рядами Фурье бывает удобнее в качестве базиса использовать вместо синусов и косинусов экспоненты мнимого аргумента. Мы рассматриваем пространство   комплекснозначных функций со скалярным произведением

 .

Мы также рассматриваем систему функций

 .

Как и прежде, эти функции являются попарно ортогональными и образуют полную систему, и, таким образом, любая функция   может быть разложена по ним в ряд Фурье:

 ,

где ряд в правой части сходится к   по норме в  . Здесь

 .

Коэффициенты :   связаны с классическими коэффициентами Фурье по следующим формулам:

 
 
 
 
 
  • Комплексная функция вещественной переменной раскладывается в такой же ряд Фурье по мнимым экспонентам, как и вещественная, но, в отличие от последней, для её разложения   и   не будут, вообще говоря, комплексно сопряженными.

Свойства тригонометрического ряда ФурьеПравить

Все утверждения этого параграфа верны в предположении, что участвующие в них функции (и результаты операций с ними) лежат в пространстве  .

  • Вычисление коэффициентов Фурье является линейной операцией:
 
  • Справедливо равенство Парсеваля:
 .
  • Коэффициенты Фурье производной легко выражаются через коэффициенты Фурье самой функции:
 
  • коэффициенты Фурье произведения двух функций выражаются свёрткой коэффициентов Фурье сомножителей:
 
  • рассмотрим операцию свертки функций:
 

где функции предполагаются периодически продолженными с промежутка   на всю прямую. Тогда

 

Разложения некоторых функций в ряд ФурьеПравить

Функция Ряд Фурье
   
   

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить

  • Жук В.В., Натансон Г.И. Тригонометрические ряды Фурье и элементы теории аппроксимации. — Л.: Изд-во Ленингр. ун-та, 1983. — С. 188.
  • Рудин У. Основы математического анализа. — 1976.
  • Пискунов Н. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для ВТУЗов. — М.: «Наука», 1964. — Т. 2.