Открыть главное меню

В теории узлов трилистник — простейший нетривиальный узел. Трилистник можно получить, соединив 2 свободных конца обычного простого узла, в результате чего получаем заузленное кольцо. Как простейший узел, трилистник является фундаментальным объектом при изучении математической теории узлов, которая имеет многообразные приложения в топологии, геометрии, физике, химии и иллюзионизме.

Трилистник
Blue Trefoil Knot.png
Левосторонний трилистник
Обозначения
Конвея [3]
Александера–Бриггса[en] 31
Даукера[en] 4, 6, 2
Многочлены
Александера
Джонса
Кауфмана
Конвея
HOMFLY[en]
Инварианты
Инвариант Арфа[en] 1
Длина косы 3
Число нитей 2
Число мостов 2
Число плёнок[en] 1
Число пересечений 3
Род 1
Число отрезков 6
Число туннелей[en] 1
Число развязывания 1
Свойства
Простой, торический, альтернированный, кружевной, не срезанный, двусторонний, трёхцветный, скрученный, расслоенный[en]
Commons-logo.svg Медиафайлы на Викискладе

Содержание

ОписанияПравить

Трилистник можно определить как кривую, которая получается из следующих параметрических уравнений:

 
 
 

(2,3)-торический узел является трилистником. Следующие параметрические уравнения задают (2,3)-торический узел на торе  :

 
 
 
 
Трилистник с осевой симметрией порядка 2.

Любая непрерывная деформация этой кривой также считается трилистником. В частности, любая изотопная трилистнику кривая также считается трилистником. Кроме того, зеркальное отражение трилистника также считается трилистником. В топологии и теории узлов трилистник обычно задаётся с помощью диаграммы.

В алгебраической геометрии трилистник можно получить как пересечение в C2 единичной 3-сферы S3 с комплексной плоской кривой нулей комплексного многочлена z2 + w3 (полукубическая парабола).

 
Левосторонний трилистник
 
Правосторонний трилистник

Если один конец ленты повернуть 3 раза, а затем склеить с другим концом, получим трилистник[1].

СимметрияПравить

Трилистник хирален в том смысле, что трилистник отличается от своего собственного зеркального отражения. Два варианта трилистника известны как левосторонний и правосторонний. Невозможно путём деформации левосторонний вариант непрерывным образом перевести в правосторонний или наоборот, то есть, эти два трилистника не изотопны.

Хотя трилистник хирален, он обратим, что означает, что нет разницы в каком направлении трилистник обходится — по часовой стрелке или против.

 
Трилистник позволяет трёхцветную раскраску.
 
Простой узел становится трилистником после соединения концов.

НетривиальностьПравить

Трилистник нетривиален, что означает, что невозможно «развязать» трилистник в трёхмерном пространстве без разрезания. С математической точки зрения это означает, что трилистник не изотопен тривиальному узлу. В частности, не существует последовательности движений Рейдемейстера, с помощью которых узел развязывается.

Доказательство этого требует построения инварианта узла, который отличен от инварианта тривиального узла. Простейший такой инвариант — трёхцветная раскраска — трилистник позволяет трёхцветную раскраску, а тривиальный узел — нет. Кроме того, любой основной многочлен узла трилистника отличается от многочлена тривиального узла, как и большинство других инвариантов.

КлассификацияПравить

В теории узлов трилистник является первым нетривиальным узлом и единственным узлом с числом пересечений три. Он является простым и перечислен с под номером 31 в нотации Александера-Бриггса. Нотация Даукера[en] для трилистника — 4 6 2, а нотация Конвея трилистника — [3].

Трилистник можно описать как (2,3)-торический узел. Можно получить этот узел путём замыкания косы σ13.

Трилистник является альтернированным узлом. Однако, он не является срезанным узлом, что означает, что он не ограничивает 2-мерный диск на 4-мерной сфере. Чтобы это показать, следует заметить, что его сигнатура[en] ненулевая. Другое доказательство — многочлен Александера не удовлетворяет условию Фокса — Милнора.

Трилистник является расслоённым[en], что означает, что его дополнение[en] в   является локально тривиальным расслоением над окружностью  . В модели трилистника как множества пар   комплексных чисел, таких что   и  , это локально тривиальное расслоение имеет отображение Милнора[en]   в качестве расслоения[en], а тор с выколотой точкой в качестве поверхности расслоения.

ИнвариантыПравить

Многочлен Александера трилистника есть

 

а Многочлен Конвея

 [2]

Многочлен Джонса

 

а Многочлен Кауфмана трилистника —

 

Группа узла трилистника задаётся представлением

 

или эквивалентно,

 [3]

Эта группа изоморфна группе кос с тремя нитями.

Трилистники в религии и культуреПравить

В качестве простейшего нетривиального узла, трилистник является частым мотивом в иконографии и изобразительном искусстве.

ПримечанияПравить

  1. Shaw, 1933, с. 11.
  2. 3_1, The Knot Atlas.
  3. Weisstein, Eric W. Trefoil Knot (англ.) на сайте Wolfram MathWorld. Accessed: May 5, 2013.

ЛитератураПравить

СсылкиПравить