Открыть главное меню

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3] и даже в некоторых научных журналах[4] время от времени публикуются некоторые неверные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Содержание

Невозможность построенияПравить

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла   разрешима только тогда, когда уравнение

 

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида   если целое число   не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[5].

Построения с помощью дополнительных средствПравить

Трисекция угла при помощи невсисаПравить

 
Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса
 
Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол   (рис. 1). Необходимо построить угол  , величина которого втрое меньше данного:  .

Построим окружность произвольного радиуса   с центром в точке  . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках   и  . Продолжим сторону   исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему  , и используя прямую   в качестве направляющей, точку   в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок  . Получим угол  , равный одной трети исходного угла  .

Доказательство

Рассмотрим треугольник   (рис. 2). Так как  , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны:   . Угол   как внешний угол треугольника   равен  .

Треугольник   также равнобедренный, углы при его основании равны  , а угол при вершине  . С другой стороны,  . Следовательно, , а значит,  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. С. Кудряшов. Задача Евклида // Газета «Труд». — 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль. Трисекция угла // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
  3. К. Попов. Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62-64. Архивировано 14 июля 2014 года.
  4. Жарков Вячеслав Сергеевич. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла). // SCI-ARTICLE. — 2016. — № 31.
  5. Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  6. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..

ЛитератураПравить