Трисекция угла

Трисекция угла — задача о делении заданного угла на три равные части построением циркулем и линейкой. Иначе говоря, необходимо построить трисектрисы угла — лучи, делящие угол на три равные части.

Наряду с задачами о квадратуре круга и удвоении куба является одной из классических неразрешимых задач на построение, известных со времён Древней Греции.

Невозможность построения была доказана Ванцелем в 1837 году. Несмотря на это, в прессе[1][2][3][4] и даже в некоторых научных журналах[5] время от времени публикуются ошибочные способы осуществления трисекции угла циркулем и линейкой.

Невозможность построенияПравить

П. Л. Ванцель доказал в 1837 году, что трисекция угла   разрешима только тогда, когда уравнение

 

разрешимо в квадратных радикалах.

Например,

  • Трисекция осуществима для углов вида   если целое число   не делится на 3.
  • Трисекция острого угла прямоугольного треугольника с целыми сторонами, длины которых выражаются взаимно простыми числами, осуществима тогда и только тогда, когда гипотенуза является кубом целого числа[6].

Построения с помощью дополнительных средствПравить

Трисекция угла при помощи невсисаПравить

 
Рис. 1. Трисекция угла с помощью невсиса
 
Рис. 2. Трисекция угла (доказательство)

Следующее построение с помощью невсиса предложено Архимедом.

Предположим, что имеется угол   (рис. 1). Необходимо построить угол  , величина которого втрое меньше данного:  .

Построим окружность произвольного радиуса   с центром в точке  . Пусть стороны угла пересекаются с окружностью в точках   и  . Продолжим сторону   исходного угла. Возьмём линейку невсиса, отложив на ней диастему  , и используя прямую   в качестве направляющей, точку   в качестве полюса, а полуокружность в качестве целевой линии, строим отрезок  . Получим угол  , равный одной трети исходного угла  .

Доказательство

Рассмотрим треугольник   (рис. 2). Так как  , то треугольник равнобедренный, и углы при его основании равны:   . Угол   как внешний угол треугольника   равен  .

Треугольник   также равнобедренный, углы при его основании равны  , а угол при вершине  . С другой стороны,  . Следовательно, , а значит,  .

См. такжеПравить

ПримечанияПравить

  1. С. Кудряшов. Задача Евклида (рус.) // Труд : газета. — Молодая гвардия, 2002. — № 073.
  2. Н. А. Доллежаль. Трисекция угла (рус.) // Наука и жизнь. — 1998. — № 3.
  3. К. Попов. Трисекция угла // Юный Техник. — 1994. — № 12. — С. 62—64. Архивировано 14 июля 2014 года.
  4. Бывшая учительница математики предложила решение нерешаемой задачи. Российская газета. Дата обращения 29 апреля 2020.
  5. Жарков Вячеслав Сергеевич. Деление угла на три равные части при помощи циркуля и линейки (Трисекция угла) // SCI-ARTICLE. — 2016. — № 31.
  6. Chang, Wen D.; Gordon, Russell A. Trisecting angles in Pythagorean triangles. Amer. Math. Monthly 121 (2014), no. 7, 625–631.
  7. Три знаменитые задачи древности, 1963, с. 33—45..

ЛитератураПравить