Открыть главное меню

Тропическая геометрия

Тропическая прямая на плоскости

Тропическая геометрия — появившаяся в 2000-е годы область в математике, исходно возникшая в информатике, и связанная с алгебраической и симплектической геометрией. Исследуемые в ней объекты являются пределом образов амёб обычных алгебраических многообразий при вырождении последних.[1]

Название «тропическая» отдаёт честь бразильской школе[1] — пионерским работам бразильского математика венгерского происхождения Имре Шимона[pt][2][3][4], исследовавшего тропическое полукольцо в связи с вопросами информатики и теории оптимизации[5].

Основные понятияПравить

 
Тропические кривые второй степени (в разных масштабах). Показаны соответствующие многочлены. Числа у рёбер показывают их кратность, если она не соответствует их наклону.
 
Тропические кривые третьей степени.
 
  • Тропический многочлен степени   на плоскости — кусочно-аффинная функция вида
 

Аналогично, тропический многочлен в общем случае — кусочно-аффинная функция вида

 
  • Тропическая кривая на плоскости, соответствующая данному тропическому многочлену   степени   — граф на плоскости, вершины и рёбра (конечные и бесконечные) которого образуют множество точек негладкости функции  . Рёбра этого графа считаются снабжёнными кратностями: ребро, разделяющее области линейности, отвечающие набору степеней   и  , снабжается кратностью, равной наибольшему общему делителю разностей   и  .
  • В частности, тропическая прямая есть объединение трёх лучей, исходящих из некоторой точки   и направленных вниз, влево и вправо-вверх под 45°. Тропические прямые обладают свойствами, аналогичными свойствам обычных прямых: через любые две точки общего положения проходит ровно одна тропическая прямая, и две тропические прямые общего положения пересекаются в единственной точке.

ПримечанияПравить

ЛитератураПравить