Открыть главное меню

Угловое ускорение

Угловое ускорение - псевдовекторная физическая величина, равная первой производной от псевдовектора угловой скорости по времени

Угловое ускорение
Единицы измерения
СИ рад/с2
СГС рад/с2
Примечания
псевдовектор

Угловое ускорение характеризует интенсивность изменения модуля и направления угловой скорости при движении твёрдого тела.

Как приходят к понятию углового ускорения: ускорение точки твердого тела при свободном движенииПравить

К понятию углового ускорения можно прийти, рассматривая вычисление ускорения точки твердого тела, совершающего свободное движение. Скорость точки тела   при свободном движении, согласно формуле Эйлера, равна

 

где   - скорость точки тела  , принятой в качестве полюса;   - псевдовектор угловой скорости тела;   - вектор, выпущенный из полюса в точку, скорость которой вычисляется. Дифференцируя по времени данное выражение и используя формулу Ривальса[1], имеем

 

 

где   - ускорение полюса  ;   - псевдовектор углового ускорения. Составляющая ускорения точки  , вычисляемая через угловое ускорение называется вращательным ускорением точки   вокруг полюса  

 

Последнее слагаемое в полученной формуле, зависящее от угловой скорости, называют осестремительным ускорением ускорением точки   вокруг полюса  

 

Геометрический смысл псевдовектора углового ускоренияПравить

Псевдовектор   направлен по касательной к годографу угловой скорости. Действительно, рассмотрим два значения вектора угловой скорости, в момент времени   и в момент времени  . Оценим изменение угловой скорости за рассматриваемый промежуток времени  

 

Отнесем это изменение к тому промежутку времени, за которое оно произошло

 

Получившийся вектор называется вектором среднего углового ускорения. Он занимает положение секущей, пересекая годограф вектора угловой скорости в точках   и  . Перейдем к пределу при  

 

Вектор среднего углового ускорения перейдет в вектор мгновенного углового ускорения и займет положение касательной в точке   к годографу угловой скорости.

Выражение вектора углового ускорения через параметры конечного поворотаПравить

При рассмотрении вращения тела через параметры конечного поворота, вектор углового ускорения можно расписать формулой

 

где   - орт, задающий направление оси поворота;   - угол, на который совершается поворот вокруг оси  .

Угловое ускорение при вращении тела вокруг неподвижной осиПравить

При вращении тела вокруг неподвижной оси, проходящей через неподвижные точки тела   и  , производные орта оси вращения равны нулю

 

В этом случае вектор углового ускорения определяется тривиально через вторую производную угла поворота

 

или

 

где   - алгебраическая величина углового ускорения. В этом случае псевдовектор углового ускорения, как и угловая скорость, направлен вдоль оси вращения тела. Если первая и вторая производные угла поворота имеют одинаковый знак

 

то вектор углового ускорения и вектор угловой скорости совпадают по направлению (тело вращается ускоренно). В противном случае, при  , векторы угловой скорости и углового ускорения направлены в противоположные стороны (тело вращается замедленно).

В курсе теоретической механики традиционным является подход, при котором понятие угловой скорости и углового ускорения вводится при рассмотрении вращения тела вокруг неподвижной оси. При этом в качестве закона движения рассматривается зависимость от времени угла поворота тела

 

В этом случае закон движения точки тела может быть выражен естественным способом, как длина дуги окружности, пройденная точкой при повороте тела от некоторого начального положения  

 

где   - расстояние от точки до оси вращения (радиус окружности, по которой движется точка). Дифференцируя последнее соотношение по времени получаем алгебраическую скорость точки

 

где   - алгебраическая величина угловой скорости. Ускорение точки тела при вращении может быть представлено как геометрическая сумма тангенциального и нормального ускорения

 

причем тангенциальное ускорение получается как производная от алгебраической скорости точки

 

где   - алгебраическая величина углового ускорения. Нормальное ускорение точки тела может быть вычислено по формулам

 

Выражение псевдовектора углового ускорения через тензор поворота телаПравить

Если поворот твёрдого тела задан тензором ранга   (линейным оператором), выраженным, например, через параметры конечного поворота

 

где   - символ Кронекера;   - тензор Леви-Чивиты, то, псевдовектор углового ускорения может быть вычислен по формуле

 

где   - тензор обратного преобразования, равный

 

ПримечанияПравить

  1. В.И. Дронг, В.В. Дубинин, М.М. Ильин и др.; под ред. К.С. Колесникова, В.В. Дубинина. Курс теоретической механики: учебник для вузов. — 2017. — С. 101, 111. — 580 с. — ISBN 978-5-7038-4568-4.

ЛитератураПравить

  1. Тарг С. М. Краткий курс теоретической механики - 10-е изд., перераб. и доп. - М.: Высш. шк., 1986 - 416 С.
  2. Погорелов Д. Ю. Введение в моделирование динамики систем тел: Учебное пособие. - Брянск: БГТУ, 1997. - 197 С.