Открыть главное меню
Углы Эйлера.
Анимация поочерёдного поворота сферы на углы Эйлера

Углы Эйлера — углы, описывающие поворот абсолютно твердого тела в трёхмерном евклидовом пространстве.

В сравнении с углами Эйлера, кватернионы позволяют проще комбинировать вращения, а также избежать проблемы, связанной с невозможностью поворота вокруг оси, независимо от совершённого вращения по другим осям (см. Кватернионы и вращение пространства).

ОпределениеПравить

Углы Эйлера определяют три поворота системы, которые позволяют привести любое положение системы к текущему. Обозначим начальную систему координат как  , конечную как  . Пересечение координатных плоскостей   и   называется линией узлов  .

  • Угол   между осью   и линией узлов — угол прецессии.
  • Угол   между осями   и   — угол нутации.
  • Угол   между осью   и линией узлов — угол собственного вращения.

Повороты системы на эти углы называются прецессия, нутация и поворот на собственный угол (вращение). Такие повороты некоммутативны и конечное положение системы зависит от порядка, в котором совершаются повороты. В случае углов Эйлера производится сначала поворот на угол   вокруг оси  , потом поворот на угол   вокруг оси  , и последним поворот на угол   вокруг оси  . Иногда такую последовательность называют 3,1,3 (или Z,X,Z), но такое обозначение может приводить к двусмыслице.

ФормулыПравить

Углы Эйлера описывают последовательную комбинацию пассивных поворотов[en] вокруг осей вращающейся системы координат. Матрицы этих поворотов имеют вид:

 

Последовательное выполнение этих поворотов даст матрицу:

 

Произведение  , где  — координаты точки до поворота, даст координаты точки в подвижной системе координат после поворота. До и после поворота координаты точки в неподвижной системе координат неизменны.

См. такжеПравить

ЛитератураПравить

  • Берёзкин Е. Н. Курс теоретической механики — 2-е изд., пер. — М.: Изд-во МГУ. 1974. — 641 с.
  • Журавлев В. Ф. Основы теоретической механики — 2-е изд. — М.: Физматлит, 2001. С. 23.
  • Уиттекер Э. Аналитическая динамика С.25