Открыть главное меню
Желтым отмечен фильтр, не являющийся ультрафильтром. При добавлении к нему зеленых элементов образуется ультрафильтр.

Ультрафильтр на решётке  — это максимальный собственный фильтр. Понятие ультрафильтра появилось в общей топологии, где оно используется для обобщения понятия сходимости на пространства с несчётной базой.

ОпределениеПравить

Собственный фильтр   на решётке   является ультрафильтром, если он не содержится ни в одном собственном (то есть отличном от  ) фильтре.

Набор   подмножеств множества   называется ультрафильтром на  , если

  •  
  • для любых двух элементов  , их пересечение также лежит в  
  • для любого элемента  , все его надмножества лежат в  
  • для любого подмножества   либо  , либо  

Иначе говоря, если рассмотреть функцию на множествах  , заданную как  , если  , и   в противном случае, то   является конечно-аддитивной вероятностной мерой на  .

Ультрафильтры в булевых алгебрахПравить

Если решётка   является булевой алгеброй, то возможна следующая характеризация ультрафильтров: фильтр   является ультрафильтром тогда и только тогда, когда для любого элемента   либо  , либо  

Эта характеризация делает ультрафильтры похожими на полные теории.

ПримерыПравить

СвойстваПравить

  • ультрафильтр на конечном множестве всегда является главным.
  • любой ультрафильтр на бесконечном множестве содержит конечный фильтр.
  • если   — главный ультрафильтр на множестве  , то его главный элемент является пересечением всех элементов ультрафильтра.
  • если   — неглавный ультрафильтр на множестве  , то пересечение всех его элементов пусто.
  • Каждый фильтр содержится в ультрафильтре.
    • Это утверждение не может быть доказано без использования аксиомы выбора.
    • Также это утверждение эквивалентно теореме о булевых простых идеалах.
    • Важным следствием этой теоремы является существование неглавных ультрафильтров на бесконечных множествах.
  • Компактификация Стоуна — Чеха дискретного пространства   — это множество ультрафильтров на решётке подмножеств   наделённое топологией Стоуна. В качестве базы открытых множеств топологии Стоуна на множестве ультрафильтров   можно взять множества   для всевозможных  

ПриложенияПравить