Универсальная обёртывающая алгебра

Универсальная обёртывающая алгебра — ассоциативная алгебра, которая может быть построена для любой алгебры Ли, перенимающая многие важные свойства исходной алгебры, что позволяет применить более широкие средства для изучения исходной алгебры.

ПостроениеПравить

Ассоциативная алгебра   над полем   обладает естественной структурой алгебры Ли над   со следующей скобкой Ли:  , то есть, из ассоциативного произведения можно построить скобку Ли с помощью простого взятия коммутатора. Обозначим эту алгебру Ли  .

Построение универсальной обёртывающей алгебры пытается обратить этот процесс: для данной алгебры Ли   над   находят «наиболее общую» ассоциативную  -алгебру   такую, что алгебра Ли   содержит  . Важное ограничение — сохранение теории представлений: представления   соотносятся точь-в-точь так же как и модули над  . В типичном контексте, где   задаётся инфинитезимальными преобразованиями, элементы   действуют как дифференциальные операторы всех порядков.

МотивацияПравить

Важная тема в изучении алгебр и вероятно основной путь их появления в приложениях это представление алгебры Ли. Представление   ставит каждому элементу x алгебры Ли линейный оператор  . Данное пространство линейных операторов не только алгебра Ли, но также и ассоциативная алгебра, так что возможно рассматривать произведения  . Суть введения универсальной обёртывающей алгебры в изучении таких произведений в различных представлениях алгебры Ли. Сразу видится одно препятствие в наивной попытке сделать это: свойства произведений коренным образом зависят от выбранного представления, а не только от самой алгебры Ли. Например, для одного представления можно получить  , в то время как в другом представлении это произведение может быть не нулевым. Тем не менее определённые свойства универсальны для всех представлений, то есть сохраняют справедливость для всех представлений одновременно. Универсальная обёртывающая алгебра — это способ охватить все такие свойства и только их.

Универсальное свойствоПравить

Пусть   — произвольная алгебра Ли над полем  . При заданных ассоциативной алгебре   с единицей и гомоморфизме алгебр Ли

 

будем говорить, что   является универсальной обёртывающей алгеброй алгебры Ли  , если она удовлетворяет следующему универсальному свойству: для любой ассоциативной алгебры   с единицей и гомоморфизма алгебр Ли

 

существует единственный гомоморфизм ассоциативных алгебр с единицей

 

такой, что

 

Это универсальное свойство также можно понимать так: функтор, отображающий   в её универсальную обёртывающую алгебру, сопряжён слева к функтору, отображающему ассоциативную алгебру   в соответствующую алгебру Ли  .

Прямое построениеПравить

Из этого универсального свойства можно доказать, что если алгебра Ли имеет универсальную обёртывающую алгебру, то эта обёртывающая алгебра единственным образом определяется алгеброй   (с точностью до изоморфизма). С помощью следующей конструкции, которая напрашивается из общих соображений (например, как часть пары сопряжённых функторов), устанавливается, что на самом деле любая алгебра Ли обязательно имеет универсальную обёртывающую алгебру.

Начиная с тензорной алгебры   на векторном пространстве алгебры  , мы получаем   факторизацией   посредством соотношений:

 

для любых   и   в  , где скобки в правой части выражения обозначают коммутатор в  .

Формально мы определили

 

где   — двусторонний идеал  , порождённый элементами вида

 

Естественное отображение   сводится к отображению  , и именно этот гомоморфизм алгебр Ли используется в вышеприведённом универсальном свойстве.

Описанная конструкция почти дословно проходит на случай супералгебр Ли.

Частные примерыПравить

Если   абелева (то есть, коммутатор всегда 0), то   — коммутативна; если выбран базис векторного пространства  , то   может рассматриваться как алгебра многочленов над  , с одной переменной для каждого базисного элемента.

Если   — алгебра Ли группы Ли  ,   может рассматриваться как алгебра левоинвариантных дифференциальных операторов (всех порядков) на  , содержащая   в качестве дифференциальных операторов первого порядка (которые находятся во взаимном соответствии с левоинвариантными векторными полями на  ).

Центр алгебры   обозначается через   и состоит из дифференциальных операторов, являющихся инвариантными как относительно левого действия группы, так и относительно правого; в случае некоммутативности   центр часто не порождается операторами первого порядка (например, оператор Казимира полупростой алгебры Ли).

Также   можно охарактеризовать как алгебру обобщённых функций с носителем на единичном элементе   группы   с операцией свёртки.

Алгебра Вейля[en] дифференциальных операторов от   переменных с полиномиальными коэффициентами может быть получена, начиная с алгебры Ли группы Гейзенберга. Для этого необходимо профакторизовать её так, чтобы центральные элементы данной алгебры Ли действовали как скаляры.

Дальнейшее описание структурыПравить

Фундаментальная теорема Пуанкаре — Биркгофа — Витта даёт точное описание  ; наиболее важное следствие из неё — это то, что   может рассматриваться как линейное подпространство  . Более точно: каноническое отображение   всегда инъективно. Более того,   порождается   как ассоциативная алгебра с единицей.

  действует на себе при помощи присоединённого представления алгебры Ли, и это действие может быть расширено на представление   в эндоморфизмы  :   действует как алгебра производных на  , и это действие сохраняет наложенные соотношения, поэтому она фактически действует на  . (Это чисто инфинитезимальный способ смотреть на вышеупомянутые инвариантные дифференциальные операторы.)

При таком представлении, элементы  , инвариантные под действием   (то есть действие на них любого элемента   тривиально), называются инвариантными элементами. Они порождаются инвариантами Казимира.

Как было сказано выше, конструкция универсальных обёртывающих алгебр — это часть пары сопряжённых функторов.   — функтор из категории алгебр Ли над   в категорию ассоциативных  -алгебр с единицей. Этот функтор — сопряженный слева к функтору, отображающему алгебру   в алгебру  . Следует отметить, что конструкция универсальной обёртывающей алгебры не является в точности обратной к формированию  : если начать с ассоциативной алгебры  , то   не равна  ; она значительно больше.

Сведения о теории представлений, упомянутые ранее, могут быть уточнены следующим образом: абелева категория всех представлений   изоморфна абелевой категории всех левых модулей  .

Построение групповой алгебры заданной группы во многом аналогична построению универсальной обёртывающей алгебры для заданной алгебры Ли. Оба построения универсальны и переносят теорию представлений в теорию модулей. Более того, как групповые алгебры, так и универсальные обёртывающие алгебры имеют естественную структуру коумножения, которые превращают их в алгебры Хопфа.

ЛитератураПравить