Унимодулярная матрица

Унимодуля́рная ма́трица — квадратная матрица с целыми коэффициентами, определитель которой равен $+1$ или $-1$. Это в точности те невырожденные матрицы $A$, для которых уравнение $Ax=b$ имеет целочисленное решение для любого целочисленного вектора $b$.

Свойства

Унимодулярные матрицы образуют группу по умножению, т.е. следующие матрицы являются унимодулярными:

• Единичная матрица
• Обратная к унимодулярной матрице
• Произведение двух унимодулярных матриц

Вполне унимодулярная матрица

Прямоугольная матрица называется вполне унимодулярной (или абсолютно, или тотально унимодулярной), если все её миноры принимают значения из множества $\{-1,0,+1\}$. Иными словами, любая её невырожденная квадратная подматрица унимодулярна.

Вполне унимодулярные матрицы играют важную роль в теории целочисленного линейного программирования: задачи линейного программирования с системой ограничений вида $Ax=b$, где $A$ вполне унимодулярна, а $b$ — целочисленный вектор, имеют целочисленные базисные допустимые решения, а значит, в частности, могут быть решены стандартным средством линейного программирования — симплекс-методом.

Некоторые примеры вполне унимодулярных матриц:

• матрица инцидентности любого ориентированного графа;
• матрица инцидентности двудольного неориентированного графа;
• частный пример:

  ${\begin{bmatrix}-1&-1&0&0&0&+1\\+1&0&-1&-1&0&0\\0&+1&+1&0&-1&0\\0&0&0&+1&+1&-1\\\end{bmatrix}}.$

Унимодулярная полиномиальная матрица

Теоремы

Теорема1: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда все её инвариантные множители равны единице, т.е. когда она эквивалентна единичной матрице.

Теорема 2: Полиномиальная матрица унимодулярна тогда и только тогда, когда она есть произведение матричных элементов.

Литература

• Берж К.. Теория графов и её применения. Глава 15. М., ИЛ, 1962.
• Пападимитриу Х., Стайглиц К. Комбинаторная оптимизация. Алгоритмы и сложность. 1984.
• Емеличев В.А. Многогранники. Графы. Оптимизация. Глава IV. г. 1981.