Унимодулярная решётка

Унимодулярная решётка — целая решётка с определителем . Последнее эквивалентно тому, что объём фундаментальной области решётки равен .

ОпределенияПравить

  • Решёткасвободная абелева группа   конечного ранга   с симметричной билинейной формой  .
  • Решётку можно также рассматривать как подгруппу в вещественном векторном пространстве   с симметрической билинейной формой.
  • Число   называется размерностью решётки, это размерность соответствующего вещественного векторного пространства; это то же, что и ранг  -модуля  , или число образующих свободной группы  .
  • Решётка называется целой, если форма   принимает только целочисленные значения.
  • Норма элемента   решётки определяется как  .
  • Решетка называется положительно определённой или лоренцевой, и так далее, если его векторное пространство таково. В частности:
    • Решётка является положительно определённой, если норма всех ненулевых элементов положительна.
    • Сигнатура решетки определяется как сигнатура формы на векторном пространстве.
  • Определитель решётки — это определитель матрицы Грамма её базиса.
  • Решётка называется унимодулярной, если её определитель равен  .
  • Унимодулярная решетка называется чётной, если все нормы её элементов чётны.

ПримерыПравить

  •  , а также   — унимодулярные решётки.
  • Решётка E8, решётка Лича — чётные унимодулярные решётки.

СвойстваПравить

  • Для данной решётки в   вектора   такие, что   для любого   также образуют решётку называемую двойственной решёткой к  .
    • Целая решетка унимодулярна тогда и только тогда, когда её двойственная решетка является целой.
    • Унимодулярная решётка тождественна своей двойственной. По этой причине унимодулярные решётки также называются самодвойственными.
  • Нечётные унимодулярные решетки существует для всех сигнатур.
  • Чётная унимодулярная решетка с сигнатурой   существует тогда и только тогда, когда   делится на 8.
    • В частности, чётные положительно определенные унимодулярные решетки существуют только в размерностях, кратных 8.
  • Тета-функция унимодулярных положительно определенных решёток является модулярной формой.

ПриложенияПравить

  • Вторая группа когомологий замкнутых односвязных ориентированных топологических четырёхмерных многообразий является унимодулярной решеткой. Михаил Фридман показал, что эта решетка практически определяет многообразие: существует единственное многообразие для каждой чётной унимодулярной решётки, и ровно по два для каждой нечётный унимодулярной решётки.
    • В частности, для нулевой формы это влечёт гипотезу Пуанкаре для 4-мерных топологических многообразий.
    • Теорема Дональдсона гласит, что если многообразие является гладким и его решётка положительно определена, то она должна представлять собой сумму копий  .
      • В частности, что большинство из этих многообразий не имеет гладкой структуры.

ЛитератураПравить

Внешние ссылкиПравить