Унитарный оператор

Унитарный оператор — ограниченный линейный оператор  :  →  на гильбертовом пространстве , который удовлетворяет соотношению

где  — эрмитово сопряжённый к оператор, и  :  →  единичный оператор. Это свойство эквивалентно следующим:

  1. сохраняет скалярное произведение 〈  ,  〉 гильбертового пространства, то есть для всех векторов и в гильбертовом пространстве
  2. сюръективный оператор.

Это также эквивалентно, казалось бы более слабому условию:

  1. сохраняет скалярное произведение, и
  2. образ  — плотное множество.

Чтобы увидеть это, заметим, что изометричен (а поэтому является ограниченным линейным оператором). Это следует из того, что сохраняет скалярное произведение. Образ  — плотное множество. Очевидно, что = .

Унитарный элемент это обобщение понятия унитарного оператора. В унитарной *-алгебре элемент U алгебры называется унитарным элементом, если

где I единичный элемент.[1]

Свойства унитарных преобразований:

  • оператор унитарного преобразования всегда обратим
  • если оператор эрмитов, то оператор унитарен.

ПримерыПравить

  • Тождественный оператор — тривиальный пример унитарного оператора.
  • Вращения в   — это простейший нетривиальный пример унитарного оператора. Вращения не изменяют длины векторов и угол между двумя векторами. Этот пример также может быть обобщён на  .
  • В векторном пространстве   комплексных чисел умножение на число с модулем  , то есть число вида   для  , является унитарным оператором.   называется фазой. Можно заметить, что значение  , кратное  , не влияет на результат, поэтому множество независимых унитарных операторов в   топологически эквивалентно окружности.

СвойстваПравить

  • Спектр унитарного оператора U лежит на единичной окружности. Это можно увидеть из спектральной теоремы для нормального оператора. По этой теореме, U унитарно эквивалентно умножению на измеримую по Борелю функцию   на  , для некоторого пространства с мерой ( ,  ). Из   следует  .

Унитарные преобразования в физикеПравить

В квантовой механике состояние квантовой системы описывается вектором в гильбертовом пространстве. Норма вектора состояния изолированной квантовой системы описывает вероятность найти систему хоть в каком-либо состоянии, а значит, она обязана равняться единице. Соответственно, эволюция квантовой системы во времени — это некоторый оператор, зависящий от времени, и, из-за требования сохранения нормы, он является унитарным. Неунитарные операторы эволюции (или, что то же самое, неэрмитовые гамильтонианы) для изолированной квантовой системы в квантовой механике запрещены.

ЛитератураПравить

ПримечанияПравить

  1. Doran, Robert S.; Victor A. Belfi. Characterizations of C*-Algebras: The Gelfand-Naimark Theorems (англ.). — New York: Marcel Dekker  (англ.), 1986. — ISBN 0824775694.