Открыть главное меню

Упорядоченное кольцо

Упорядоченное кольцо в общей алгебре — это кольцо (обычно коммутативное), для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями кольца. Наиболее практически важными примерами являются кольцо целых чисел и кольца целых кратных.

Упорядоченное кольцо целых чисел на числовой прямой

ОпределениеПравить

Пусть  кольцо, для элементов которого определён линейный порядок, то есть задано отношение   (меньше или равно) со следующими свойствами[1].

  1. Рефлексивность:  .
  2. Транзитивность: если   и  , то  .
  3. Антисимметричность: если   и  , то  .
  4. Линейность: все элементы   сравнимы между собой, то есть либо  , либо  .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения кольца:

  1. Если  , то для любого z:  .
  2. Если   и  , то  .

Если все 6 аксиом выполнены, то кольцо   называется упорядоченным[2].

Примеры упорядоченных колецПравить

  • Кольцо целых чисел  
  • Кольцо чётных чисел и вообще любое кольцо чисел, кратных заданному ненулевому вещественному числу   (не обязательно целому).
  • Любое упорядоченное поле (например, поля рациональных и вещественных чисел) является также упорядоченным кольцом.
  • Пример упорядоченного кольца с делителями нуля: если в аддитивной группе целых чисел положить все произведения равными нулю, то получится упорядоченное кольцо, в котором любой элемент является делителем нуля (единица тогда не является нейтральным элементом для умножения, так что получается кольцо без единицы)[3][4].

Связанные определенияПравить

Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:

Отношение больше или равно:   означает, что  .
Отношение больше:   означает, что   и  .
Отношение меньше:   означает, что  .

Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.

Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Множество положительных элементов упорядоченного кольца   часто обозначается через  

Дискретное упорядоченное кольцо — это упорядоченное кольцо, в котором нет элементов между 0 и 1. Целые числа представляют собой дискретное упорядоченное кольцо, а рациональные числа — нет.

Основные свойстваПравить

Для всех   имеют место следующие свойства.

  • Всякий элемент упорядоченного кольца относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если   положителен, то   отрицателен, и наоборот.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если   и  , то  .
  • Неравенства можно умножать на неотрицательные элементы:
Если   и  , то  .
  • Упорядоченное кольцо не имеет делителей нуля тогда и только тогда, когда произведение положительных элементов положительно.
  • Правило знаков: произведение ненулевых элементов с одинаковыми знаками неотрицательно (если в кольце нет делителей нуля, то положительно), а произведение положительного элемента на отрицательный неположительно (если нет делителей нуля, то отрицательно),
    • Следствие 1: в упорядоченном кольце квадрат ненулевого элемента всегда неотрицателен (а если нет делителей нуля, то положителен)[5].
    • Следствие 2: в упорядоченном кольце с единицей всегда   (так как 1 есть квадрат самой себя)[4].
  • Упорядоченное кольцо, которое не является тривиальным (то есть содержит не только ноль), бесконечно.
  • Любое упорядоченное кольцо с единицей и без делителей нуля содержит одно и только одно подкольцо, изоморфное кольцу   целых чисел[6].

Примеры колец и полей, которые не допускают упорядоченияПравить

Абсолютная величинаПравить

Определим абсолютную величину элемента  

 

Здесь функция   осуществляет выбор наибольшего значения. Она обладает следующими свойствами (для всех   из кольца)[7].

  •   тогда и только тогда, когда  .
  • Для всех ненулевых   и только для них  .
  • Абсолютные величины противоположных чисел совпадают:  
  • Неравенство треугольника:  .
  • Мультипликативность:  
  •   равносильно  

Вариации и обобщенияПравить

Теория упорядоченных колец охватывает также особые случаи некоммутативных (или даже неассоциативных) колец. Исследуются и другие вариации:

ПримечанияПравить

  1. Lam, T. Y. (1983), Orderings, valuations and quadratic forms, vol. 52, CBMS Regional Conference Series in Mathematics, American Mathematical Society, ISBN 0-8218-0702-1 
  2. Бурбаки, 1965, с. 271.
  3. Бурбаки Н. Алгебра. Алгебраические структуры. Линейная алгебра. — М.: Наука, 1962. — С. 137. — 517 с.
  4. 1 2 Бурбаки, 1965, с. 272.
  5. Нечаев, 1975, с. 90.
  6. Нечаев, 1975, с. 100.
  7. Нечаев, 1975, с. 91.
  8. Partially ordered ring
  9. Нечаев, 1975, с. 88—89.

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. — М.: Наука, 1965. — С. 271—272. — 299 с.
  • Нечаев В. И. 6.4. Линейно упорядоченные кольца и тела // Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — С. 90—94. — 199 с.

СсылкиПравить