Открыть главное меню

Упорядоченное поле

Упорядоченное полеалгебраическое поле, для всех элементов которого определён линейный порядок, согласованный с операциями поля. Наиболее практически важными примерами являются поля рациональных и вещественных чисел. Термин был предложен Артином в 1927 г.

ОпределениеПравить

Пусть  алгебраическое поле и для его элементов определён линейный порядок, то есть задано отношение   (меньше или равно) со следующими свойствами:

  1. Рефлексивность:  .
  2. Транзитивность: если   и  , то  .
  3. Антисимметричность: если   и  , то  .
  4. Линейность: все элементы   сравнимы между собой, то есть либо  , либо  .

Кроме того, потребуем, чтобы порядок был согласован с операциями сложения и умножения:

  1. Если  , то для любого z:  .
  2. Если   и  , то  .

Если все 6 аксиом выполнены, то поле   называется упорядоченным.

Связанные определенияПравить

  • Для удобства записи вводятся дополнительные вторичные отношения:
Отношение больше или равно:   означает, что  .
Отношение больше:   означает, что   и  .
Отношение меньше:   означает, что  .
  • Формула с любым из этих 4 отношений называется неравенством.
  • Элементы, бо́льшие нуля, называются положительными, а меньшие нуля — отрицательными. Можно определить также абсолютную величину   элемента   как  .

Конструктивное построение порядкаПравить

Один из способов определить в поле F линейный порядок — выделить в нём подмножество положительных чисел P, замкнутое относительно сложения и умножения и обладающее следующим свойством. три подмножества  , ноль и   не пересекаются и вместе образуют разбиение всего поля.

Пусть такое P выделено. Обозначим   (это множество тоже замкнуто относительно сложения и умножения) и определим линейный порядок в F следующим образом:

 , если  

Все приведенные выше аксиомы порядка тогда выполнены. Любое упорядоченное поле может быть построено с помощью описанной процедуры.

СвойстваПравить

  • Всякий элемент упорядоченного поля относится к одной и только одной из трёх категорий: положительные, отрицательные, нуль. Если   положителен, то   отрицателен, и наоборот.
  • В любом упорядоченном поле   и квадрат любого ненулевого элемента положителен.
  • Однотипные неравенства можно складывать:
Если   и  , то  .
  • Неравенства можно умножать на положительные элементы:
Если   и  , то  .

Неединственность порядкаПравить

Вообще говоря, поле можно упорядочить разными способами. Пример: рассмотрим поле из чисел вида  , где   — рациональные числа. Кроме обычного порядка, можно определить для этого поля и такой: включим в «подмножество положительных чисел»   те числа  , для которых  . Нетрудно проверить, что условия, приведенные в разделе о конструктивном построении порядка, выполнены[1].

Место в иерархии алгебраических структурПравить

  • Подполе упорядоченного поля наследует родительский порядок и, следовательно, тоже является упорядоченным полем.
  • Характеристика упорядоченного поля всегда равна нулю.
  • Поле допускает упорядочение тогда и только тогда, когда   не может быть представлена как сумма квадратов элементов поля. Поэтому нельзя продолжить вещественный порядок на комплексные числа.
  • Наименьшее упорядоченное поле — это поле рациональных чисел, которое может быть упорядочено только одним способом. Это или изоморфное ему рациональное поле содержится как подполе в любом другом упорядоченном поле.
  • Если в упорядоченном поле не существует элемента большего, чем все элементы рационального поля, поле называется архимедовым[2]. Максимальным архимедовым упорядоченным полем является поле вещественных чисел  ; любое другое архимедово упорядоченное поле изоморфно одному из подполей  .

ПримерыПравить

  • Рациональные числа
  • Вещественные числа
  • Вещественные алгебраические числа
  • Поле вещественных рациональных функций:  , где  многочлены,  . Упорядочим его следующим образом.
    • Пусть   Будем считать, что функция  , если  . Вещественные константы (как многочлены нулевого порядка) тем самым упорядочены традиционным образом.
    • Из определения вытекает, что многочлен   больше, чем любая константа, то есть аксиома Архимеда для этого поля не выполняется, поле неархимедово. Интересно отметить, что это же поле допускает и архимедов порядок, например, если считать положительными те функции (дроби)  , для которых[3]  .
  • Гипервещественные числа — ещё один пример неархимедова поля.
  • Как сказано выше, поле комплексных чисел не допускает порядка, продолжающего порядок вещественных чисел. Тем не менее некоторые комплексные подполя могут быть упорядочены. Рассмотрим, например, поле  , порождённое добавлением к полю рациональных чисел   числа   — одного из трёх комплексных корней многочлена  . Данное поле изоморфно вещественному полю  , поэтому на него можно перенести обычный вещественный порядок[3]

Примеры неупорядочиваемых полейПравить

ЛитератураПравить

  • Бурбаки Н. Алгебра. Многочлены и поля. Упорядоченные группы. М.: Наука, 1965.
  • Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. 2 изд., М.: Наука, 1979, 469 с.
  • Ленг С. Алгебра. М: Мир, 1968.
  • Нечаев В. И. Числовые системы. — М.: Просвещение, 1975. — 199 с..

ПримечанияПравить