Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение :
△
u
(
x
¯
,
t
)
−
1
c
2
∂
2
u
(
x
¯
,
t
)
∂
t
2
=
f
(
x
¯
,
t
)
.
{\displaystyle \triangle u({\bar {x}},t)-{\frac {1}{c^{2}}}{\frac {\partial ^{2}u({\bar {x}},t)}{\partial t^{2}}}=f({\bar {x}},t).}
Пусть функции
u
{\displaystyle u}
f
{\displaystyle f}
u
(
x
¯
,
t
)
=
U
(
x
¯
)
T
(
t
)
,
f
(
x
¯
,
t
)
=
F
(
x
¯
)
T
(
t
)
{\displaystyle u({\bar {x}},t)=U({\bar {x}})T(t),\ f({\bar {x}},t)=F({\bar {x}})T(t)}
T
(
t
)
=
e
i
ω
t
{\displaystyle T(t)=e^{i\omega t}}
Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель iω . Таким образом, наше уравнение приводится к виду:
△
U
(
x
¯
)
+
ω
2
c
2
U
(
x
¯
)
=
F
(
x
¯
)
,
{\displaystyle \triangle U({\bar {x}})+{\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}U({\bar {x}})=F({\bar {x}}),}
где
ω
2
c
2
=
k
2
{\displaystyle {\frac {\omega ^{2}}{c^{2}}}=k^{2}}
Случай однородного уравнения Править Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия , что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса
a
{\displaystyle a}
r
,
φ
{\displaystyle r,\,\varphi }
U
r
r
+
1
r
U
r
+
1
r
2
U
φ
φ
+
k
2
U
=
0
,
U
(
a
,
φ
)
=
0.
{\displaystyle U_{rr}+{\frac {1}{r}}U_{r}+{\frac {1}{r^{2}}}U_{\varphi \varphi }+k^{2}U=0,\qquad U(a,\varphi )=0.}
Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от
φ
{\displaystyle \varphi }
U
(
r
,
φ
)
=
R
(
r
)
Φ
(
φ
)
,
{\displaystyle U(r,\varphi )=R(r)\Phi (\varphi ),}
Φ
″
Φ
=
−
λ
2
,
{\displaystyle {\frac {\Phi ''}{\Phi }}=-\lambda ^{2},}
а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:
r
2
R
″
+
r
R
′
+
R
(
r
2
k
2
−
λ
2
)
=
0.
{\displaystyle \displaystyle r^{2}R''+rR'+R(r^{2}k^{2}-\lambda ^{2})=0.}
Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции
sin
(
λ
φ
)
,
cos
(
λ
φ
)
{\displaystyle \scriptstyle \sin(\lambda \varphi ),\ \cos(\lambda \varphi )}
J
λ
(
μ
i
(
λ
)
a
r
)
,
{\displaystyle \scriptstyle J_{\lambda }\left({\frac {\mu _{i}^{(\lambda )}}{a}}r\right),}
μ
i
(
λ
)
{\displaystyle \mu _{i}^{(\lambda )}}
i
{\displaystyle i}
функции Бесселя
λ
{\displaystyle \lambda }
Случай неоднородного уравнения Править Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций :
△
U
+
k
2
U
=
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \triangle U+k^{2}U=\delta (x).}
Покажем, что в трёхмерном случае
(
x
=
(
x
1
,
x
2
,
x
3
)
)
{\displaystyle (x=(x_{1},x_{2},x_{3}))}
U
1
(
3
)
(
x
)
=
−
e
i
k
|
x
|
4
π
|
x
|
,
U
2
(
3
)
=
−
e
−
i
k
|
x
|
4
π
|
x
|
.
{\displaystyle U_{1}^{(3)}(x)=-{\frac {e^{ik|x|}}{4\pi |x|}},\qquad U_{2}^{(3)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{4\pi |x|}}.}
В самом деле, воспользуемся равенствами:
∂
∂
x
j
1
|
x
|
=
−
x
j
|
x
|
3
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}{\frac {1}{|x|}}=-{\frac {x_{j}}{|x|^{3}}}}
∂
∂
x
j
e
i
k
|
x
|
=
i
k
x
j
|
x
|
e
i
k
|
x
|
{\displaystyle {\frac {\partial }{\partial x_{j}}}e^{ik|x|}={\frac {ikx_{j}}{|x|}}e^{ik|x|}}
△
e
i
k
|
x
|
=
(
2
i
k
|
x
|
−
k
2
)
e
i
k
|
x
|
{\displaystyle \triangle e^{ik|x|}=\left({\frac {2ik}{|x|}}-k^{2}\right)e^{ik|x|}}
и формулой, доказываемой в курсе математической физики:
△
1
|
x
|
=
−
2
π
3
/
2
Γ
(
3
/
2
)
δ
(
x
)
.
{\displaystyle \triangle {\frac {1}{|x|}}=-{\frac {2\pi ^{3/2}}{\Gamma (3/2)}}\delta (x).}
Получаем:
(
△
+
k
2
)
1
|
x
|
e
i
k
|
x
|
=
e
i
k
|
x
|
△
1
|
x
|
+
2
(
grad
e
i
k
|
x
|
,
grad
1
|
x
|
)
+
1
|
x
|
△
e
i
k
|
x
|
+
k
2
|
x
|
e
i
k
|
x
|
=
{\displaystyle (\triangle +k^{2}){\frac {1}{|x|}}e^{ik|x|}=e^{ik|x|}\triangle {\frac {1}{|x|}}+2\left(\operatorname {grad} \,\,e^{ik|x|},\operatorname {grad} {\frac {1}{|x|}}\right)+{\frac {1}{|x|}}\triangle e^{ik|x|}+{\frac {k^{2}}{|x|}}e^{ik|x|}=}
=
−
4
π
e
i
k
|
x
|
δ
(
x
)
+
(
−
2
i
k
|
x
|
2
+
2
i
k
|
x
|
2
−
k
2
|
x
|
+
k
2
|
x
|
)
e
i
k
|
x
|
=
−
4
π
δ
(
x
)
.
{\displaystyle =-4\pi e^{ik|x|}\delta (x)+\left(-{\frac {2ik}{|x|^{2}}}+{\frac {2ik}{|x|^{2}}}-{\frac {k^{2}}{|x|}}+{\frac {k^{2}}{|x|}}\right)e^{ik|x|}=-4\pi \delta (x).}
Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:
U
1
(
2
)
=
−
i
4
H
0
(
1
)
(
k
|
x
|
)
,
U
2
(
2
)
=
i
4
H
0
(
2
)
(
k
|
x
|
)
,
{\displaystyle U_{1}^{(2)}=-{\frac {i}{4}}H_{0}^{(1)}(k|x|),\qquad U_{2}^{(2)}={\frac {i}{4}}H_{0}^{(2)}(k|x|),}
а в одномерном :
U
1
(
1
)
(
x
)
=
e
i
k
|
x
|
2
i
k
,
U
2
(
1
)
=
−
e
−
i
k
|
x
|
2
i
k
.
{\displaystyle U_{1}^{(1)}(x)={\frac {e^{ik|x|}}{2ik}},\qquad U_{2}^{(1)}=-{\frac {e^{-ik|x|}}{2ik}}.}
