Открыть главное меню

Уравнение Гельмгольца

Уравне́ние Гельмго́льца — это эллиптическое дифференциальное уравнение в частных производных:

где  — это оператор Лапласа, а неизвестная функция определена в (на практике уравнение Гельмгольца применяется для ).

Вывод уравненияПравить

Как легко заметить, в уравнение Гельмгольца не входят операторы дифференцирования по времени, следовательно, сведение исходной задачи в частных производных к уравнению Гельмгольца может упростить её решение. Рассмотрим волновое уравнение:

 

Пусть функции   и   допускают разделение переменных:  , и пусть  . Заметим, что в пространстве Фурье-преобразований дифференцирование по времени соответствует умножению на множитель . Таким образом, наше уравнение приводится к виду:

 

где   — это квадрат модуля волнового вектора.

Решение уравнения ГельмгольцаПравить

Случай однородного уравненияПравить

Решение уравнения Гельмгольца зависит от вида граничных условий. В двумерном случае уравнение Гельмгольца применяется для решения задачи о колеблющейся мембране, тогда естественным образом задаются однородные граничные условия, что физически соответствует закреплению мембраны на границе. В таком случае решение будет зависеть от формы мембраны. Так, для круглой мембраны радиуса   в полярных координатах ( ) уравнение принимает вид:

 

Методом разделения переменных приходим к задаче на собственные значения для части решения, зависящей только от  :

 
 

а функция, зависящая только от радиуса, будет удовлетворять уравнению:

 

Фундаментальными решениями этих уравнений являются, соответственно, функции   и   где   —  -й корень функции Бесселя  -го порядка.

Случай неоднородного уравненияПравить

Рассмотрим уравнение Гельмгольца в пространстве обобщённых функций:

 

Покажем, что в трёхмерном случае   фундаментальными решениями этого уравнения являются функции:

 

В самом деле, воспользуемся равенствами:

 
 
 

и формулой, доказываемой в курсе математической физики:

 

Получаем:

 

 

Прямыми вычислениями также проверяется, что в двумерном случае фундаментальным решением будут функции Ханкеля первого и второго рода:

 

а в одномерном:

 

ЛитератураПравить