Открыть главное меню

Уравнение Д’Аламбера — дифференциальное уравнение вида

где и  — функции. Впервые исследовалось Ж. Д’Аламбером (J. D’Alembert, 1748). Известно также под названием уравнения Лагранжа, частный случай при называется уравнением Клеро[1].

РешениеПравить

Интегрирование дифференциальных уравнений такого типа производится в параметрическом виде, с помощью параметра

 

С учётом этой подстановки, исходное уравнение принимает вид

 

Дифференцирование по x даёт:

 

или

 

Особые решенияПравить

Одним из решений последнего уравнения является любая функция, производная которой является постоянной  , удовлетворяющей алгебраическому уравнению

 

так как для постоянного  

 

Если  , то  , постоянная C должна быть найдена подстановкой в исходное уравнение:

 

так как в рассматриваемом случае  , то

 .

Окончательно можем написать:

 .

Если такое решение нельзя получить из общего, то оно называется особым.

Общее решениеПравить

Будем рассматривать обратную функцию к  , тогда, воспользовавшись теоремой о производной обратной функции можно написать:

 .

Это уравнение является линейным дифференциальным уравнением первого порядка, решая которое, получим выражение для x как функцию от p:

 

Таким образом получается решение исходного дифференциального уравнения в параметрическом виде:

 .

Исключая из этой системы переменную p, получим общие решение в виде

 .


ПримечанияПравить

  1. Пискунов H. С. Дифференциальное и интегральное исчисления для втузов, т. 2.: Учебное пособие для втузов.. — 13-е изд.. — М: Наука, Главная редакция физико-математической литературы, 1985. — С. 46-48. — 560 с.